Question

某工地在冬季水利建设中设计了一个提起重物的机械，如图是这个机械一个组成部分的示意图．OA是个钢管，每米长受重力为30牛顿；0是转动轴；重物的质量m为150千克，挂在B处，0B=1米；拉力F加在A点，竖直向上．取g=1 0牛/千克．为维持平衡，钢管OA为多长时所用的拉力最小？这个最小拉力是多少？

Answer 1

【答案】分析：解答本题需要根据杠杆平衡条件F₁L₁=F₂L₂去分析计算：本题中动力为F，动力臂为OA，而阻力有两个（一个是重物G，另一个是钢管本身的重力），所以阻力臂也有两个（重物G的力臂是OB，钢管重力的力臂是 OA），明确了动力、动力臂、阻力和阻力臂之后，我们就可以根据杠杆平衡条件列出一个方程，然后根据数学方面的知识求解方程．
解答：解：由题意可知，杠杆的动力为F，动力臂为OA，阻力分别是重物G_物和钢管的重力G_钢管，阻力臂分别是OB和OA，
重物的重力G_物=m_物g=150kg×10N/kg=1500N，
钢管的重力G_钢管=30N×OA，
由杠杆平衡条件F₁L₁=F₂L₂可得：F?OA=G_物?OB+G_钢管?OA，
则F?OA=1500N×1m+30N?OA?OA，
得：F?OA=1500+15?OA²，
移项得：15?OA²-F?OA+1500=0，
由于钢管的长度OA是确定的只有一个，所以该方程只能取一个解，
因为当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，即有一个解，因此应该让根的判别式b²-4ac等于0，
则F²-4×15×1500=0，
则F²-90000=0，
得F=300N，
将F=300N代入方程15?OA²-F?OA+1500=0，
解得OA=10m．
答：为维持平衡，钢管OA为10m长时所用的拉力最小，这个最小拉力是300N．
点评：本题是一道跨学科题，解答此题不仅涉及到物理知识，还应用到数学方面的知识．
本题的难点：①对于钢管重力的确定；②对于阻力及阻力臂的确定；③对于根的判别式的确定．