Question

【题目】【2016天津卷】现有一质地均匀密度为ρ0的实心圆柱体，底面积为S0、高为h0，将其中间挖去底面积为的小圆柱体，使其成为空心管，如图1所示。先用硬塑料片将空心管低端密封（硬塑料片的体积和质量不计），再将其低端向下竖直放在底面积为S的柱形平底容器底部，如图2所示。然后沿容器内壁缓慢注入密度为ρ的液体，在注入液体的过程中空心管始终保持竖直状态。

（1）当注入一定量的液体时，空心管对容器底的压力刚好为零，且空心管尚有部分露在液面外，求此时容器中液体的深度。

（2）去掉塑料片后，空心管仍竖直立在容器底部，管外液体可以进入管内，继续向容器中注入该液体。若使空心管对容器底的压力最小，注入液体的总重量最少是多少？

Answer 1

【答案】（1）h1 =ρ0h0/2ρ；（2）ρh0（2S-S0 ）/2；

【解析】（1）空心管对容器底的压力刚好为零，此时空心管处于漂浮状态，浮力等于重力，设注入液体的深度为h1，浮力F浮=ρgS0 h1，空心管的重力G=mg=ρ0 gh0（S0 -S0/2），即ρgS0 h1 =ρ0 gh0（S0 -S0/2），解得液体的深度；（2）若管的密度大于液体的密度，设液体深度为h，若使空心管对容器底的压力最小，即浮力最大，此时空心管应恰好完全浸没，即液体的深度等于管的高度，h2 =h0，所以液体的质量m2 =ρ（S-S0/2）h0 =ρh0 （2S-S0）/2；若管的密度小于液体的密度，设液体深度为h3 ，若使空心管对容器底的压力最小，此时空心管处于漂浮状态，浮力等于其重力，浮力F浮 =ρgS0 h3 /2，空心管的重力G=mg=ρ0 gh0 （S0 -S0/2），即ρgS0 h3/2 =ρ0 gh0 （S0 -S0/2），解得液体的深度h3 =ρ0h0/ρ，液体的质量m3 =ρ（S-S0/2）ρ0h0/ρ=ρ0 h0（2S-S0 ）/2。