Question

11．小明的妈妈有一只翠玉手镯，他很想知道这只手镯的密度，他于是利用家里仅有的器材：透明规则的水槽、细线、刻度尺、一个边长为a的正方体木块（不吸水）和足量的水等器材巧妙地测出了手镯的密度，其测量方法如图所示．

实验步骤：①将木块放入水槽中，用刻度尺测出它的下表面到水面的距离h₁；②将翠玉手镯放在木块上，用刻度尺测出它的下表面到水面的距离h₂；③用细线将翠玉手镯系在木块下方，然后放入水中，用刻度尺测出它的下表面到水面的距离h₃．
（1）图甲中木块下表面所受水的压强P=ρ_水gh₁；
（2）根据你所学的知识，你认为h₂、h₃的大小关系是h₂大于h₃（选填“大于”、“等于”或“小于”）；
（3）手镯的质量表达式m=ρ_水a²（h₂-h₁）；
（4）手镯的密度表达式ρ=$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{{h}_{2}-{h}_{3}}$ρ_水．

Answer 1

分析 （1）已知物体所在液体中的深度，利用公式p=ρgh计算液体产生的压强；
（2）漂浮在同一种液体中的同一个物体，排开液体的体积一定；根据浮力的变化即可判断水的深度变化；
（3）木块漂浮在水面上，木块受到的浮力等于木块的重力，手镯放在木块上，总体浮力等于总体的重力，列出等式．求出手镯的重力，求出手镯的质量．
（4）手镯在木块上面和在木块下面，总重相同，总体漂浮在水面上，浮力相同，排开水的体积相同，根据排开水的体积相同，求出手镯的体积．测量手镯的密度需要测量手镯的质量和体积，根据密度公式求出手镯的密度；

解答 解：
（1）木块底面受到水的压强为p=ρ_水gh₁；
（2）将手镯和木块看成一个整体，在乙、丙两图中，都是漂浮在水中，所以排开水的总体积一定，液面是相平的；
因为丙图中手镯浸没在水中，手镯会排开一部分水，所以木块排开水的深度h₂大于h₃；
（3）木块底面积S=a²，如图甲，木块漂浮在水面上：G_木=F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水gSh₁=ρ_水ga²h₁，
即：G_木=ρ_水ga²h₁-----------①
如图乙，手镯放在木块上，木块还是漂浮在水面上：G_手镯+G_木=F'_浮=ρ_水gV'_排=ρ_水gSh₂=ρ_水ga²h₂，
即：G_手镯+G_木=ρ_水ga²h₂----------②
②-①得，手镯的重力：G_手镯=ρ_水ga²（h₂-h₁），
手镯的质量：m_手镯=$\frac{{G}_{手镯}}{g}$=$\frac{{ρ}_{水}g{a}^{2}（{h}_{2}-{h}_{1}）}{g}$=ρ_水a²（h₂-h₁）；
（4）如图丙，手镯吊在木块的下端，手镯和木块漂浮在水面上，G_手镯+G_木=F'_浮=ρ_水gV'_排=ρ_水g（a²h₃+V_手镯），
所以，ρ_水ga²h₂=ρ_水g（a²h₃+V_手镯），
所以，手镯的体积为：V_手镯=a²（h₂-h₃），
手镯的密度：ρ_手镯=$\frac{{m}_{手镯}}{{V}_{手镯}}$=$\frac{{ρ}_{水}{a}^{2}（{h}_{2}-{h}_{1}）}{{a}^{2}（{h}_{2}-{h}_{3}）}$=$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{{h}_{2}-{h}_{3}}$ρ_水．
故答案为：
（1）ρ_水gh₁；
（2）大于；
（3）ρ_水a²（h₂-h₁）；
（4）$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{{h}_{2}-{h}_{3}}$ρ_水．

点评 ①测量手镯的密度，想法测量手镯的质量和体积．
②采用两次漂浮，运用漂浮条件和阿基米德原理，求出手镯的重力，求出手镯的质量．
③利用手镯在木块上和木块下，运用漂浮条件，重力相等，浮力相等，排开水的体积相等，求出手镯的体积．