Question

1．图甲是建造大桥时所用的起吊装置示意图，使用电动机和滑轮组（图中未画出）将实心长方体A从江底沿竖直方向匀速吊起，图乙是钢缆绳对A的拉力T随时间t变化的图象．长方体A完全在水面下匀速竖直上升的过程中，电动机对绳的拉力为F₁，滑轮组的机械效率为η₁；A完全离开水面后匀速竖直上升的过程中，电动机对绳的拉力为F₂，其大小为6.25×10³N，滑轮组的机械效率为η₂．A上升的速度始终为0.1m/s，η₁：η₂=5：6，g取10N/kg，不计钢缆绳与滑轮间的摩擦及绳重，不考虑风浪、水流等因素的影响，求：
（1）长方体A未露出水面时受到的浮力；
（2）长方体A完全离开水面后，匀速上升过程中电动机对绳的拉力F₂的功率；
（3）F₁的大小．

Answer 1

分析 （1）根据图象读出物体A的重力和未露出水面时受到的拉力，然后根据称重法即可求出长方体A未露出水面时受到的浮力；
（2）根据机械效率的关系列出两种情况下成立的关系式，得出动滑轮的重力，根据滑轮组的省力特点计算出承担物重的绳子段数；
从而可根据v_绳=nv_物得出绳子的速度，由公式P=$\frac{W}{t}$=Fv得出拉力的功率；
（3）根据滑轮组的省力特点得出F₁的大小．

解答 解：物体浸在水中被匀速提起时T=G-F_浮，物体露出水面时，F_浮减小，T增大，当物体完全露出水面时，T=G，
（1）由图象可知，长方体A的重力G_A=2×10⁴N，
它完全在水中时钢缆绳对其拉力为T₁=1×10⁴N，
所以，长方体A未露出水面时受到的浮力：
F_浮=G_A-T₁=2×10⁴N-1×10⁴N=1×10⁴N；
（2）设动滑轮的重力为G₀，A完全在水中时，滑轮组的机械效率：
η₁=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{{T}_{1}h}{（{T}_{1}+{G}_{0}）h}$=$\frac{{T}_{1}}{{T}_{1}+{G}_{0}}$
A完全离开水面后滑轮组的机械效率：
η₂=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{{G}_{A}h}{{（G}_{A}+{G}_{0}）h}$=$\frac{{G}_{A}}{{G}_{A}+{G}_{0}}$
由题意知：$\frac{{η}_{1}}{{η}_{2}}$=$\frac{{T}_{1}}{{T}_{1}+{G}_{0}}$•$\frac{{G}_{A}+{G}_{0}}{{G}_{A}}$=$\frac{1×1{0}^{4}N×（2×1{0}^{4}N+{G}_{0}）}{（1×1{0}^{4}N+{G}_{0}）×2×1{0}^{4}N}$=$\frac{5}{6}$   
解得G₀=5000N
设该滑轮组共有n段绳子通过动滑轮，所以A完全离开水面后 G₀+G_A=nF₂
则n=$\frac{{G}_{0}+{G}_{A}}{{F}_{2}}$=$\frac{5000N+2×1{0}^{4}N}{6.25×1{0}^{3}N}$=4；
电动机拉动绳子的速度为v'=4v=4×0.1m/s=0.4m/s
拉力F₂的功率P=$\frac{{W}_{2}}{t}$=F₂ v'=6.25×10³N×0.4 m/s=2.5×10³W
（3）F₁=$\frac{1}{n}$（G₀+T₁）=$\frac{1}{4}$×（5000N+1×10⁴N）=3.75×10³N．
答：（1）长方体A未露出水面时受到的浮力为1×10⁴N；
（2）长方体A完全离开水面后，匀速上升过程中电动机对绳的拉力F₂的功率为2.5×10³W；
（3）F₁的大小为3.75×10³N．

点评 本题是有关力学的综合计算题目，主要考查了浮力、功率、机械效率的问题，能够根据已知条件确定滑轮组承担物重的绳子段数是解决问题的关键．有一定难度．