Question

9．归纳式控--弹性物体的弹性势能：
我们知道，弹性物体由于发生弹性形变而具有的能叫弹性势能．但是，用同样的大小的力去拉两种不同的弹性物体，伸长的长度不同，产生的弹性势能也不同，且外界拉力做的功的大小数值上等于弹性物体产生的弹性势能．
为了研究不同弹性物体发生形变时的弹性势能与哪些因素有关，通过有关实验探究，取得数据如下（其中：S为金属丝的横截面积，L₀为金属丝的原长，△L为金属丝的伸长，Ep为金属丝具有的弹性势能）：

材料	S/m2	L0/m	△L/m	Ep/J
铜	3×10-6	1	1×10-3	0.165
钢	3×10-6	1	1×10-3	0.3
铜	6×10-6	1	1×10-3	0.33
钢	3×10-6	2	1×10-3	0.15
铜	6×10-6	1	2×10-3	1.32

（1）E_p=k$\frac{S（△L）^{2}}{{L}_{0}}$，其中k与弹性体的材料有关，材料不同，k值一般不同．上述实验中铜的k值k_铜=5.5×10¹⁰J/m³（填上数值和单位）．
（2）若要让粗细相同、原长不同的铜丝伸长相同的长度，则铜丝的弹性势能E_p与铜丝原长L₀的关系可以用图象中的图线c表示．
（3）要使面积为90×10^-6m²、原长为2.5m的钢丝获得0.9J的弹性势能，则需将该钢丝拉伸0.5×10^-3m．

Answer 1

分析 （1）实验中主要有四个变量，分别为材料、横截面积、长度和长度的变化量，根据控制变量法的要求，分别比较第2、4行数据，3、5行数据，4、6行数据，可分析出横截面积、长度和长度的变化量与弹性势能的关系，最终归纳出表达式，再利用表达式可计算出铜的k值，这种方法叫做等价变换法；
（2）通过E_p的表达式进行分析，得出符合题意的图线；
（3）利用归纳得出的公式，求出钢的k值，然后将数据代入进行计算．

解答 解：（1）表格数据如下：

比较第2、4行数据可知，金属丝的材料、原长、伸长量相同时，横截面积变为原来的2倍时，弹性势能变为原来的2倍，即E_p与S成正比；
比较第3、5行数据可知，金属丝的材料、横截面积、伸长量相同时，原长变为原来的2倍时，弹性势能变为原来的$\frac{1}{2}$，即E_p与L₀成反比；
比较第4、6行数据可知，金属丝的材料、横截面积、原长相同时，伸长量变为原来的2倍时，弹性势能变为原来的4倍，即E_p与△L²成正比；
综上可得：E_p=k$\frac{S（△L）^{2}}{{L}_{0}}$；
选择第2行数据，代入可得0.165J=k_铜×$\frac{3×1{0}^{-6}{m}^{2}×（1×1{0}^{-3}m）^{2}}{1m}$，
解得：k_铜=5.5×10¹⁰J/m³；
（2）由E_p=k$\frac{S（△L）^{2}}{{L}_{0}}$可知，让粗细相同、原长不同的铜丝伸长相同的长度，则铜丝的弹性势能E_p与原长L₀成反比，观察图象可知，c成反比图象，故图象c正确；
（3）选择第3行数据，代入E_p=k$\frac{S（△L）^{2}}{{L}_{0}}$可得：0.3J=k_钢×$\frac{3×1{0}^{-6}{m}^{2}×（1×1{0}^{-3}m）^{2}}{1m}$，
解得：k_钢=1×10¹¹J/m³，
由E_p=k$\frac{S（△L）^{2}}{{L}_{0}}$可得：
△l=$\sqrt{\frac{{E}_{p}{L}_{0}}{{k}_{钢}S}}$=$\sqrt{\frac{0.9J×2.5m}{1×1{0}^{11}J/{m}^{3}×90×1{0}^{-6}{m}^{2}}}$=0.5×10^-3m．
故答案为：
（1）$\frac{S（△L）^{2}}{{L}_{0}}$；5.5×10¹⁰J/m³； （2）c； （3）0.5×10^-3m．

点评 本实验中的变量比较多，在分析数据时，必须在保证其他变量不变的情况下，依次分析其中的一个变量与E_p之间的关系，最终综合成公式的形式，这种归纳研究的方法称为等价变换；E_p的公式，剩余的问题基本要从公式入手进行分析和计算．