Question

10．从高空下落的物体，速度越来越大，所受空气阻力也会随速度的增大而增大，当阻力大小增大到与重力相等时，物体由于受到平衡力而以某一速度作匀速直线运动，通常把这个速度称为收尾速度．
（1）研究发现，相同环境条件下，空气对不同材质的球形物体的阻力大小与球的半径和速度都有关系．表为某次研究的实验数据，根据表格中的数据，求出编号为2、3的小球在达到收尾速度时所受的空气阻力之比为1：9．

小球编号	1	2	3	4
小球质量（×10-2kg）	2	5	45	40
小球半径（×10-3m）	0.5	0.5	1.5	2
小球的收尾速度m/s	16	40	40	20

（2）若要研究空气对不同材质的球形物体的阻力大小与球的速度的关系，应选取表格中小球编号为1、2的数据进行比较，可以发现阻力大小与球的速度的数学关系是f=$\frac{1}{80}$v．

Answer 1

分析 （1）物体做匀速直线运动时，重力与阻力是一对平衡力，这样根据小球的质量可求出其所受空气阻力之比；
（2）要研究空气对不同材质的球形物体的阻力大小与球的速度的关系，需要保持小球半径相同；小球达到收尾速度时，做匀速直线运动，处于平衡状态，小球受到的空气阻力等于小球的重力，求出小球受到的阻力，然后求出它们的比值．根据比值关系得出阻力和速度的关系式．

解答 解：
（1）小球达到收尾速度时，做匀速直线运动，小球受平衡力f=G=mg，
所以编号2、3小球在达到收尾速度时所受空气阻力之比$\frac{{f}_{2}}{{f}_{3}}$=$\frac{{G}_{2}}{{G}_{3}}$=$\frac{{m}_{2}g}{{m}_{3}g}$=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{3}}$=$\frac{5×1{0}^{-2}kg}{45×1{0}^{-2}kg}$=$\frac{1}{9}$；
（2）由实验数据知，1、2两组小球的半径相同，质量不同，重力不同，匀速下落时受到的阻力不同，所以研究空气对不同材质的球形物体的阻力大小与球的速度的关系，需要选择这两组．
编号为1、2两个小球所受空气阻力之比$\frac{{f}_{1}}{{f}_{2}}$=$\frac{{G}_{1}}{{G}_{2}}$=$\frac{{m}_{1}g}{{m}_{2}g}$=$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{2×1{0}^{-2}kg}{5×1{0}^{-2}kg}$=$\frac{2}{5}$，
两小球的收尾速度之比：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{16m/s}{40m/s}$=$\frac{2}{5}$，即$\frac{{f}_{1}}{{f}_{2}}$=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{\;}}$，
因此在小球的半径不变时，空气阻力f与球的收尾速度V成正比．
设f=k•v，将编号为1的小球的数据代入公式，k=$\frac{f}{v}$=$\frac{G}{v}$=$\frac{mg}{v}$=$\frac{2×1{0}^{-2}kg×10N/kg}{16m/s}$=$\frac{1}{80}$；
所以空气阻力f与球的收尾速度υ的关系式是f=$\frac{1}{80}$v．
故答案为：
（1）1：9；
（2）1、2；f=$\frac{1}{80}$v．

点评 通过此题考查了利用二力平衡分析空气的阻力，尤其是对球形物体所受空气阻力f与球的半径r的关系的分析是本题的难点，此题也为我们提供了一个很好的参照，值得我们借鉴．