Question

14．如图所示，电源两端电压保持不变，当开关S₁闭合、S₂断开，滑动变阻器的滑片P移到A端时，电阻R₂的电功率为P₂，电流表的示数为I₁；当开关S₁断开、S₂闭合时，电阻R₂的电功率为P₂′，电流表的示数为I₂．已知I₁：I₂=2：3．
求：（1）电阻R₂的功率P₂与P₂′的比值；
（2）当开关S₁、S₂都断开，滑动变阻器的滑片P在C点时，变阻器接入电路的电阻为R_C，电压表V₁的示数为U₁，电压表V₂的示数为U₂，已知U₁：U₂=1：3，这时R₂的功率为20W，R_C的电功率为5W．则滑片P在A端与滑片P到C点时，变阻器连入电路电阻R_A与 R_C的比值；
（3）电路通过不同的变化，消耗的最大功率与最小功率之比．（请画出相关电路状态的等效电路图）

Answer 1

分析 （1）当开关S₁闭合、S₂断开，滑动变阻器的滑片P移到A端时，R_A和R₂串联，电流表测量的是整个电路中的电流I₁，当开关S₁断开、S₂闭合时，R₁和R₂串联，电流表测量的是整个电路中的电流I₂，已知I₁：I₂=2：3，根据P=UI=I²R求出电阻R₂的功率P₂与P₂′的比值；
（2）当开关S₁、S₂都断开，滑动变阻器的滑片P在C点时，R₁、R_C和R₂串联，电压表V₁测量的是R₁和R_C两端的电压，电压表V₂测量的是R₂和R_C两端的电压，已知U₁：U₂=1：3，根据串联电路的电流特点和欧姆定律表示出电压表示数之比得出等式，根据P=I²R表示出R₂与R_C的电功率之比得出等式，在图（1）和图（2）中，根据电压一定时电流与电阻成反比得出电阻关系，然后整理得出答案；
（3）因为电路两端的总电压保持不变，由公式P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可知，当电路中的电阻最小时，消耗的功率最大，当电路中的电阻最大时，消耗的功率最小．

解答 解：（1）当开关S₁闭合、S₂断开，滑动变阻器的滑片P移到A端时，等效电路图如图（1）所示；
当开关S₁断开、S₂闭合时，等效电路图如图（2）所示：

因$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
所以，由P=I²R可得，电阻R₂的功率P₂与P₂′的比值：
$\frac{{P}_{2}}{{P}_{2}′}$=$\frac{{{I}_{1}}^{2}{R}_{2}}{{{I}_{2}}^{2}{R}_{2}}$=$\frac{{{I}_{1}}^{2}}{{{I}_{2}}^{2}}$=$\frac{{2}^{2}}{{3}^{2}}$=$\frac{4}{9}$；
（2）当开关S₁、S₂都断开，滑动变阻器的滑片P移到C点时，等效电路图如图（3）所示：

因串联电路中各处的电流相等，
所以，由I=$\frac{U}{R}$可得：
$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}$=$\frac{{I}_{3}（{R}_{1}+{R}_{C}）}{{I}_{3}（{R}_{C}+{R}_{2}）}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{C}}{{R}_{C}+{R}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，
整理可得：2R_C=R₂-3R₁------------①
由P=I²R可得：
$\frac{{P}_{2}″}{{P}_{C}}$=$\frac{{{I}_{3}}^{2}{R}_{2}}{{{I}_{3}}^{2}{R}_{C}}$=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{C}}$=$\frac{20W}{5W}$=$\frac{4}{1}$，
整理可得：R₂=4R_C----------------②
在图（1）和图（2）中，
因电源电压一定时，电流与总电阻成反比，
所以，$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{2}}{{R}_{A}\;+{R}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
整理可得：2R_A=R₂+3R₁---------③
由①②③可得：3R₁=2R_C，R₂=4R_C，R_A=3R_C，
则$\frac{{R}_{A}}{{R}_{C}}$=$\frac{3}{1}$；
（3）当开关S₁、S₂都闭合时，只有R₂接入，等效电路图如图（4）所示，电路消耗的功率最大；
当开关S₁、S₂都断开，滑动变阻器的滑片P移到A端时，R₁、R₂、R_C串联接入，等效电路图如图（5）所示，电路消耗的功率最小，

由P=UI=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得，电路消耗的最大功率与最小功率之比：
$\frac{{P}_{最大}}{{P}_{最小}}$=$\frac{\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}}{\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}+{R}_{A}}}$=$\frac{{R}_{1}+{R}_{2}+\;{R}_{A}}{{R}_{2}}$=$\frac{\frac{2}{3}{R}_{C}+{4R}_{C}+{3R}_{C}\;}{{4R}_{C}}$=$\frac{23}{12}$．
答：（1）电阻R₂的功率P₂与P₂'的比值为4：9．
（2）滑片P在A端与滑片P到C点时，变阻器连入电路电阻R_A与 R_C的比值位3：1；
（3）电路通过不同的变化，消耗的最大功率与最小功率之比位23：12．

点评 本题综合性较强，考查的内容较多，可以根据开关的状态判断电路的连接情况，可以把复杂的电路进行简化，并充分理解串联分压这一特点，会用电功率公式计算，本题难点是，要用到电功率的变形公式：P=I²R和P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求解，需要注意的是：P=I²R和P=$\frac{{U}^{2}}{R}$这两个公式在电功率计算题里要经常用到．