Question

13．演绎式探究：
现在，叶子和小雨要研究有关电场强弱的问题：
（1）电场强度：
我们知道，磁体周围存在磁场；同样，带电体周围存在电场．我们用电场强度E表示电场的强弱．在电场中各点E的大小一般是不同的，E越大，表示该点电场越强．不同点E的方向也一般不同．如图1所示，若一个小球带的电量为q，则与其距离为r的A点处的电场强度大小E=k$\frac{q}{{r}^{2}}$（k为常数），这说明距离带电体越远，电场越弱．A点处E的方向如图中箭头所示．
（2）环形带电体的电场强度：
如图2所示，有一个带电均匀的圆环，已知圆环的半径为R，所带的总电最为Q．过圆环中心O点作一垂直于圆环平面的直线，那么在此直线上与环心相距为x的P点处的电场强度E_P的表达式是怎样的呢？
小雨首先把圆环均匀分割为许多等份，每一等份的圆弧长度为△l，则每一等份的电量为△L×$\frac{Q}{2πR}$；；每一等份可以看作一个带电小球，则每一等份在P点所产生的电场强度的大小为E₁=$\frac{Q△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$，；E₁沿着OP方向的分量E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x=$\frac{kQ△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）\frac{3}{2}}$．
E_P的大小等于圆环上所有等份的E_1x大小之和，即E_P=$\frac{kQx}{（{R}^{2}+{x}^{2}）\frac{3}{2}}$．

Answer 1

分析 （1）由电场强度大小的公式直接判断；
（2）①求出圆环的周长，再计算△L的弧上的电量；
②利用勾股定理得出点P的距离的平方，把△L的弧上的电量代入场强公式E=k$\frac{q}{{r}^{2}}$可得P点所产生的电场强度的大小；
③利用三角形余弦公式计算E₁沿着OP方向的分量E_1x；
④E_P的大小是E_P=E_1x×$\frac{2πR}{△L}$．

解答 解：（1）据题意由电场强度大小的公式E=k$\frac{q}{{r}^{2}}$可知，当r增大时E变小，所以距离带电体越远，电场越弱；
（2）①半径为R的圆环的周长是2πR，圆弧长度为△L的弧上的电量为：△L×$\frac{Q}{2πR}$=$\frac{Q△L}{2πR}$；
②由勾股定理可知，△L处到点P的距离的平方：r²=R²+x²，
P点所产生的电场强度的大小为E₁=k$\frac{q}{{r}^{2}}$=k×$\frac{\frac{Q△L}{2πR}}{{R}^{2}+{x}^{2}}$=k$\frac{Q△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$…Ⅰ
③由图2，结合数学知识，cos∠E₁PE_1x=$\frac{x}{\sqrt{{R}^{2}+{x}^{2}}}$…Ⅱ，
将Ⅰ、Ⅱ代入E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x，
得E₁沿着OP方向的分量E_1x=E₁cos∠E₁PE_1x=k$\frac{Q△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$×$\frac{x}{\sqrt{{R}^{2}+{x}^{2}}}$=$\frac{kQx△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$…Ⅲ

④将Ⅲ式代入E_P=E_1x×$\frac{2πR}{△L}$，得E_P=E_1x×$\frac{2πR}{△L}$=$\frac{kQx△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$×$\frac{2πR}{△L}$=$\frac{kQx}{{{（R}^{2}+{x}^{2}）}^{\frac{3}{2}}}$．
故答案为：（1）弱；
（2）$\frac{Q△L}{2πR}$；k$\frac{Q△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）}$；$\frac{kQx△L}{2πR（{R}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$；$\frac{kQx}{{{（R}^{2}+{x}^{2}）}^{\frac{3}{2}}}$．

点评 本题是一道实验探究题，考查学生获取信息的能力及运用数学知识解决实际问题的能力，体现了与高中物理知识的衔接，属于难题．