Question

某科技小组设计的提升重物的装置如图甲所示．图中水平杆CD与竖直杆EH、DI组合成支架固定在水平地面上．小亮站在地面上通过滑轮组提升重物，滑轮组由动滑轮Q和安装在水平杆CD上的两个定滑轮组成．小亮以拉力F₁匀速竖直提升物体A的过程中，物体A的速度为υ₁，F₁的功率为P₁，滑轮组的机械效率为η₁．小亮以拉力F₂匀速竖直提升物体B的过程中，物体B的速度为υ₂，F₂的功率为P₂，滑轮组的机械效率为η₂．物体A、B上升的距离h随时间变化的图象分别如图乙中①、②所示．已知：P₁=2P₂，机械效率η₁-η₂=5%（不计绳的质量，不计滑轮与轴的摩擦）．求：

（1）F₁与F₂的比值   
（2）η₁=？

Answer 1

分析：（1）在图象上找出υ₁和υ₂的关系，又因为功率关系，求出拉力之比．
（2）对A和B进行受力分析，根据平衡力条件列出等式，又知道拉力之比，建立G_动、G_A、G_B的关系式．
（3）根据机械效率公式列出等式，利用η₁-η₂=5%建立，G_动、G_A、G_B的关系式．联立上面的方程解得G_动、G_A、G_B的关系．
（4）利用机械效率公式η=

G

G+G动

求出机械效率．

解答：解：设物体A受的重力为G_A，物体B受的重力为G_B，动滑轮受的重力为G_动．匀速提升物体A时，以物体A和动滑轮的整体为研究对象，受力分析如甲所示．匀速提升物体B时，以物体B和动滑轮的整体为研究对象，受力分析如乙所示．

由图甲、乙得：2F₁′=G_A+G_动，2F₂′=G_B+G_动，又因为物体间力的作用是相互的，F₁′=F₁，F₂′=F₂，
所以，

F1

F2

=

GA+G动

GB+G动

，…（1）
由图象可知，

v1

v2

=

8

5

，
由

P1

P2

=

F1×2v1

F2×2v2

，已知P₁=2P₂，
 解得：

F1

F2

=

5

4

，…（2）
由（1）、（2）解得：

GA+G动

GB+G动

=

5

4

…（3）
由η₁-η₂=5%，η₁=

W有A

W总A

=

GA

GA+G动

，η₂=

W有B

W总B

=

GB

GB+G动

   …（4）
得：

GA

GA+G动

-

GB

GB+G动

=5%   …（5）
由（4）、（5）解得：

GA

GB

=

4

3

，G_动=

1

4

G_A，G_动=

1

3

G_B．
η₁=

W有A

W总A

=

GA

GA+G动

=

GA

GA+ 1 4 GA

=80%．
答：（1）F₁与F₂的比值是5：4．   
（2）η₁=80%．

点评：根据P=Fv求出拉力之比，根据受力分析A和B，根据平衡力条件列出等式，求出G_动、G_A、G_B的关系式，根据机械效率公式建立G_动、G_A、G_B的关系式，联立方程解答，此题有较大的难度，有些竞赛题的味道．