Question

如图所示，小容器A底部有一个半径略小于R的圆洞，上面用一个半径为R的小球盖住，容器A内的液体密度为ρ₁，大容器B内的液体密度为ρ₂，两容器液面相平，距容器A底部高为h．求小球重力G至少多大时，才能盖住圆洞？（提示：球的体积公式为）

Answer 1

解：这里只能用浮力产生的原因：压力差来求解，小球的上表面均是一个半球面，且各部分压强都不相等，但是我们观察下面两个图，液体对下半球的压力F应该是相等的，即F₁=F₂，那么由图中F_浮2=F₂-F^′，所以F₁=F₂=F_浮2+F^′，

同理下图中F₃=F₄=F-F_浮1，所以小球上下面压力差：
F₁-F₃=F_浮2+F^′-（F-F_浮1）=F_浮1+F_浮2+F^′-F
=ρ₁gπR³+ρ₂gπR³+ρ₂ghπR²-ρ₁ghπR²
=（ρ₁+ρ₂）gπR³+（ρ₁-ρ₂）ghπR²．

答：小球重力G至少等于（ρ₁+ρ₂）gπR³+（ρ₁-ρ₂）ghπR²时，才能盖住圆洞．
分析：因为上下半球在不同液体里，所以不能直接用阿基米德原理算小球受到的浮力．可以把它拆成上下两个半球，用密度为ρ₂的液体对球向上的压力与密度为ρ₁的液体对球向下的压力之差来求浮力．然后再让浮力≤球的重力G．
点评：解答此题时要注意ρ₁、ρ₂两种液体不是连通的，两部分液体完全隔离，同一高度压强可以不相同，阿基米德原理在这里不适用．