Question

14．如图甲所示，某工地用固定在水平工作台上的卷扬机（其内部有电动机提供动力）通过滑轮组匀速提升货物．为监测卷扬机的工作情况，将固定卷扬机的工作台置于水平杠杆的A端，杠杆的B端连接有配重C，其下方与压力传感器相接触，杠杆AB可绕转轴O在竖直平面内自由转动．当卷扬机提升G₁=1450N的重物以速度v₁匀速上升时，卷扬机的拉力为F₁，滑轮组的机械效率为η₁，压力传感器显示其对配重C的支持力为N₁；当卷扬机提升重为G₂的重物以速度v₂匀速上升时，卷扬机的拉力为F₂，滑轮组的机械效率为η₂，压力传感器显示其对配重C的支持力为N₂．拉力F₁、F₂做功随时间变化的图象分别如图乙中①、②所示．已知卷扬机及其工作台的总重为500N，配重C所受的重力为200N，4υ₁=3υ₂，88η₁=87η₂，5AO=2OB．杠杆AB所受的重力、绳的质量和滑轮与轴的摩擦均可忽略不计．求：
（1）卷扬机提升重物G₂时的功率；
（2）动滑轮所受的重力；
（3）N₁与N₂的比值．

Answer 1

分析 （1）由W-t图象可知卷扬机提升重物G₂时，在时间t=1.5s内做功多少，利用功率公式求卷扬机提升重物G₂时的功率；
（2）设动滑轮所受重力为G_动，卷扬机及其工作平台所受重力为G，根据图象可知t=1.0s内，拉力F₁、F₂做功分别为W₁=900J，W₂=1800J，求出P₁和P₂的比值，而P=Fv，知道4v₁=3v₂，据此求出拉力F₁和F₂的比值，又知道88η₁=87η₂，和G₁的大小，利用η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{总}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{Gh}{F5h}$=$\frac{G}{F×5}$求出G₂大小；再由F₁=$\frac{1}{5}$（G₁+G_轮）、F₂=$\frac{1}{5}$（G₂+G_轮）联立方程组求动滑轮重；
（3）由F=$\frac{1}{5}$（G+G_轮）求出拉力大小，而卷扬机及其工作平台受到的重力等于拉力加上支持力，据此求出支持力的大小，根据力的作用是相互的，可求杠杆左边受到的压力，知道5AO=2OB，利用杠杆平衡条件求杠杆右边受到的拉力，而配重C受到的重力等于杠杆的拉力加上地面的支持力，据此求出配重C受到的支持力；
同理求出提升重物G₂时的支持力，进而求出N₁与N₂的比值．

解答 解：（1）由题中W-t图象可知：
P₂=$\frac{{W}_{2}}{{t}_{2}}$=$\frac{2700J}{1.5s}$=1800W；
（2）设动滑轮所受重力为G_动，卷扬机及其工作平台所受重力为G．
根据图象可知t=1.0s内，拉力F₁、F₂做功分别为W₁=900J，W₂=1800J，
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{\frac{{W}_{1}}{t}}{\frac{{W}_{2}}{t}}$=$\frac{{W}_{1}}{{W}_{2}}$=$\frac{900J}{1800J}$=$\frac{1}{2}$，
由P=Fv，
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{{F}_{1}×5{v}_{1}}{{F}_{2}×5{v}_{2}}$=$\frac{{F}_{1}{v}_{1}}{{F}_{2}{v}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
因为4v₁=3v₂，
所以，$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
因为η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{总}}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{Gh}{F5h}$=$\frac{G}{F×5}$，
所以$\frac{{η}_{1}}{{η}_{2}}$=$\frac{\frac{{G}_{1}}{{F}_{1}×5}}{\frac{{G}_{2}}{{F}_{2}×5}}$=$\frac{{G}_{1}}{{F}_{1}}×\frac{{F}_{2}}{{G}_{2}}$=$\frac{{G}_{1}}{{G}_{2}}×\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}$=$\frac{1450N}{{G}_{2}}×\frac{3}{2}$=$\frac{87}{88}$，
解得：
G₂=2200N；
提升重物G₁的过程中，重物和动滑轮受力分析如答图1所示，
卷扬机及其工作平台受力分析如答图2所示，
杠杆AB受力分析如答图3所示，
配重C受力分析如答图4所示．
提升重物G₂的过程中，重物和动滑轮受力分析如答图5所示，
卷扬机及其工作平台受力分析如答图6所示，
杠杆AB受力分析如答图7所示，
配重C受力分析如答图8所示．

由受力分析可知，F₁=$\frac{1}{5}$（G₁+G_动）=$\frac{1}{5}$（1450N+G_动），F₂=$\frac{1}{5}$（G₂+G_动）=$\frac{1}{5}$（2200N+G_动），
因为$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
即：$\frac{1}{5}$（1450N+G_动）：$\frac{1}{5}$（2200N+G_动）=2：3，
∴G_动=50N．
（3）F₁=$\frac{1}{5}$（G₁+G_轮）=$\frac{1}{5}$（1450N+50N）=300N，N_A1=G-F₁=500N-300N=200N，
N_A1′=N_A1，5AO=2OB，
∵N_A1′×OA=F_B1′×OB，
∴F_B1′=$\frac{N′×OA}{OB}$=$\frac{200N×2}{5}$=80N，
F_B1=F_B1′，N₁=G_C-F_B1=200N-80N=120N；
F₂=$\frac{1}{5}$（G₂+G_轮）=$\frac{1}{5}$（2200N+50N）=450N，N_A2=G-F₂=500N-450N=50N，
N_A2′=N_A2，5AO=2OB，
∵N_A2′×OA=F_B2′×OB，
∴F_B2′=$\frac{N{′}_{A2}×OA}{OB}$=$\frac{50N×2}{5}$=20N，
F_B2=F_B2′，N₂=G_C-F_B2=200N-20N=180N；
∴$\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}$=$\frac{120N}{180N}$=$\frac{2}{3}$．
答：（1）卷扬机提升重物G₂时的功率为1800W；
（2）动滑轮所受的重力为50N；
（3）N₁与N₂的比值为2：3．

点评 本题为力学综合题，要求灵活利用所学知识、选用所学公式，利用好滑轮组的特点、杠杆平衡条件，能从图象得出相关信息是本题的关键．