Question

8．如图所示．木块A的重力为3N，底面积为50cm³，体积为500cm³木块A的底部与一个底面积为200cm³足够高的容器底部连接着一轻质弹簧，该弹簧不受外力时的长度为5cm，弹簧上产生的弹力与弹簧的形变量成正比（形变量0.5cm，弹力1N），木块A浸入水中的体积占总体积的$\frac{1}{5}$．
（1）此时承对容器底部的压强为多大？
（2）向容器中加水，当A物体刚好漂浮时，水对容器底的压强为多少？
（3）继续向容器中加水，从图示状态直到A刚好浸没，需要加水的质量为多少？

Answer 1

分析 （1）由阿基米德原理计算A有$\frac{1}{5}$浸入时的浮力，从而计算出弹簧的弹力（拉力），根据弹力与弹簧的形变量成正比，可得到弹簧的长度，从而计算出水深；再由液体压强公式计算水对容器底的压强；
（2）计算A物体刚好漂浮时的浸入水中的深度，从而计算出水深；再由液体压强公式计算水对容器底的压强；
（3）由阿基米德原理计算A浸没时的浮力，从而计算出弹簧的弹力（拉力），可得到弹簧的长度，从而计算出水深，从而计算出由图示状态到A浸没加入水的体积，再由密度公式计算加入水的质量．

解答 解：
（1）由v=sh可得木块高度：h_A=$\frac{{V}_{A}}{{S}_{A}}$=$\frac{500c{m}^{3}}{50c{m}^{2}}$=10cm，
木块A浸入水中的体积占总体积的$\frac{1}{5}$时，即A浸入深度：h_浸=$\frac{1}{5}$h_A=$\frac{1}{5}$×10cm=2cm，
V_排=$\frac{1}{5}$V_木=$\frac{1}{5}$×500cm³=100cm³，
木块A受到的浮力：F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×100×10^-6m³=1N，
因为F_浮＜G，所以此时A受到竖直向下的重力、弹簧对A向上弹力、竖直向上的浮力平衡，即：F_浮+F_弹=G，
此时弹簧对A的作用力：F_弹=G-F_浮=3N-1N=2N，所以A对弹簧的压力F=F_弹=2N，
所以弹簧的被压缩量：△L=$\frac{F}{2N/cm}$=$\frac{2N}{2N/cm}$=1cm，
所以此时水深：h=（L-△L）+h_浸=（5cm-1cm）+2cm=6cm，
此时水对容器底的压强为：p=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.06m=600Pa．
（2）A物体刚好漂浮时F_浮′=G，
所以：S_Ah_浸′=V_排=$\frac{{F}_{浮}′}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{3N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=3×10^-4m³=300cm³，
所以此时A浸入水中的深度：h_浸′=$\frac{300c{m}^{3}}{{S}_{A}}$=$\frac{300c{m}^{3}}{50c{m}^{2}}$=6cm，
此时容器中水深：h′=h_浸′+L=6cm+5cm=11cm，
水对容器底的压强：p=ρ_水gh′=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.11m=1100Pa；
（3）当向容器中加水A刚好浸没时，A受到的浮力：F_浮″=ρ_水gV_排″=1.0×10³kg/m³×10N/kg×500×10^-6m³=5N，
因为F_浮＞G，所以此时A受到竖直向下的重力、弹簧对A向下的拉力、竖直向上的浮力平衡，即：F_浮″=G+F_拉′，
所以此时弹簧对A的拉力：F_拉′=F_浮″-G=5N-3N=2N；
此时弹簧伸长的长度：△L′=△L=1cm，
所以此时弹簧的长度：L′=L₀+△L′=5cm+1cm=6cm，
所以加入水的体积：V=S_容[L′-（L-△L）]+S_A（h_A-h_浸）=200cm³×[6cm-（5cm-1cm）]+50cm³×（10cm-2cm）=1200cm³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得加入水的质量：m=ρ_水V=1gc/m³×1200cm³=1200g=1.2kg．
答：（1）此时承对容器底部的压强为600Pa；
（2）向容器中加水，当A物体刚好漂浮时，水对容器底的压强为1100Pa；
（3）继续向容器中加水，从图示状态知道A刚好浸没，需要加水的质量为1.2kg．

点评 此题考查了平衡力、阿基米德原理、液体压强等知识，正确对木块进行受力分析是解题的关键，综合性强，有一定难度．