Question

某工厂设计了一个蓄水池（如图所示），水源A罐的夜面高度h₁保持不变．罐底有一个小出水口，面积为S₁．孔下通过一个截面积为S₂活塞与杠杆BC相连．杠杆可绕B端上下转动，另一端有一个中空的圆柱形浮子，横截面积为S₃，BO是杠杆总长的

1

3

．原设计打算当杠杆水平时，浮子浸入水深为h₂，活塞恰好能赌住出水口，但在使用时发现，活塞离出水口尚有极小一段距离时，浮子便不再上浮，此时浮子没入水深为h₃．为了使活塞自动堵住出水口，只得将浮子的重量减去G′．试求浮子应减去重量G′的大小．（活塞及连杆的重量不计，杠杆所受浮力不记．）

Answer 1

分析：（1）活塞上升的高度即为O点上升的距离．杠杆由原来的位置到水平位置，浮子进入水中的深度由现在的深度h3上升到设计的h2，同时O点上升到D点．通过两次位置的变化，得到一对相似三角形，利用相似形的对应边成比例可以求得OD的长度，即活塞上升的高度．
（2）以倾斜的杠杆为研究对象，分析出对杠杆的向上的作用力和对杠杆向下的作用力，并分别表示出来，利用杠杆的平衡条件将其联系在一起，求得浮子原来的重力．
以水平的杠杆为研究对象，分析出此时对杠杆的向上的作用力和对杠杆向下的作用力，并分别表示出来，利用杠杆的平衡条件将其联系在一起，求得浮子现在的重力．
两次重力之差即为减去的浮子的重力．

解答：解：
设浮子原来重力为G，杠杆长为l．浮子减重后，重为G′，由倾斜变为水平，如图所示，杠杆C端上升高度为EC=h₃-h₂，活塞上升的高度△h即为OD的长度，△h=

h3-h2

3

．
    
根据数学知识，三角形BDO相似于三角形BEC，
所以：

DO

EC

=

BO

BC

=

BD

BE

因为BO是杠杆总长

1

3

，
所以：

DO

EC

=

BO

BC

=

BD

BE

=

1

3

，
（2）活塞减重前，杠杆平衡时，支点为B，
以浮子为研究对象，C端受到的合力为F_浮-G=（S₃h₃ρ_水g-G），该力的力臂BE，
O点受到的力为F_压=ρ_水gS₂（h₁+△h），该力的力臂设为BD，
根据杠杆平衡条件可得：（F_浮-G）BE=F_压BD，
即：（S₃h₃ρ_水g-G）BE=ρ_水gS₂（h₁+△h）BD，

BD

BE

=

1

3

，
可得：3（S₃h₃ρ_水g-G）=ρ_水gS₂（h₁+△h），
G=S₃h₃ρ_水g-

1

3

ρ_水gS₂（h₁+

h3-h2

3

），-------------①
浮子减重后，杠杆平衡时，以杠杆为研究对象，进行受力分析：

C端受到的合力为
F′_浮-G′=S₃h₂ρ_水g-G′，此力的力臂为BC，
O点受到的力为F?_压=ρ_水gS₂h₁，此力的力臂为BO．
根据杠杆平衡有：（S₃h₂ρ_水g-G′）BC=ρ_水gS₂h₁ BO，
即为：3〔S₃h₂ρ_水g-G′〕=ρ_水gS₂h₁，
G′=S₃h₂ρ_水g-

1

3

ρ_水gS₂h₁-----------②
①-②得浮子应减去重量G′的大小：
△G=S₃h₃ρ_水g-

1

3

ρ_水gS₂（h₁+

h3-h2

3

）-（S₃h₂ρ_水g-

1

3

ρ_水gS₂h₁）
=ρ_水g（h₃-h₂）（S₃-

1

9

S₂）
答：浮子应减去重量G′的大小为ρ_水g（h₃-h₂）（S₃-

1

9

S₂）．

点评：以杠杆的平衡条件为桥梁，将浮子受到的重力，浮力以及水池内水对活塞的压力联系起来，得到关于这几个力的方程，然后利用阿基米德原理将浮子受到的浮力表示出来，利用液体压强的特点和压力的计算公式将水对活塞的压力表示出来，即可求出浮子的重力，对浮子和活塞进行受力分析是解决此题的关键．