Question

3．已知在水平地面上并排铺有n块相同的均质砖块，如甲图所示，每块砖的质量为m，长为a，宽为b，厚为c．
（1）求每砖块的密度；
（2）求砖块对水平地面的压强；
（3）若要将这n块砖按图乙所示叠放在最左边的砖块上，求手要给砖块做的最小功．

Answer 1

分析 （1）求出每砖块的体积，又知每块砖的质量，利用$ρ=\frac{m}{V}$计算每砖块的密度；
（2）求出砖块的受力面积和对水平地面的压力，利用p=$\frac{F}{S}$计算砖块对水平地面的压强；
（3）因为将地面上的砖块叠放，使每一块砖提升的高度不同，所做的功也不同，所以利用W=Gh分别求出对每一块砖所做的功，然后求其和即可．

解答 解：（1）每砖块的体积V=abc，
每砖块的密度：$ρ=\frac{m}{V}$=$\frac{m}{abc}$；
（2）砖块对水平地面的压力：F=G=mg，
受力面积：S=ab，
砖块对水平地面的压强：p=$\frac{F}{S}$=$\frac{mg}{ab}$；
（3）利用W=Gh，求出对每一块砖所做的功，
∵第一块砖提升高度为：h₁=0，
第二块砖提升高度为：h₂=c，
第三块砖提升高度为：h₃=2c，
…
第n块砖提升高度为：h_n=（n-1）c，
∴对第一块砖所做的功为：W₁=Gh₁=mg×0=0，
对第二块砖所做的功为：W₂=Gh₂=mg×c=mgc，
对第三块砖所做的功为：W₃=Gh₃=mg×2c=2mgc，
…
对第n块砖所做的功为：W_n=Gh_n=mg×（n-1）c=（n-1）mgc，
∴W_总=W₁ +W₂ +W₃ +…+W_n
=0+mgc+mg2c+…+（n-1）mgc
=〔1+2+…+（n-1）〕mgc
=$\frac{n（n-1）}{2}$mgc．
答：（1）每砖块的密度为$\frac{m}{abc}$；
（2）砖块对水平地面的压强为$\frac{mg}{ab}$；
（3）若要将这n块砖按图乙所示叠放在最左边的砖块上，手要给砖块做的最小功为$\frac{n（n-1）}{2}$mgc．

点评 本题考查密度的计算、压强的大小计算和功的计算，是一道综合性较强的题目，难点在（3），关键是弄清人做功时对每一块砖所提升的高度，最后利用等差数列求和公式得出代数式．