Question

在图所示的装置中，质量可忽略不计的杠杆CD可绕转轴O点自由转动，OC：OD=2：1，A、B两个滑轮的质量均为2kg，E是边长为20cm、密度为ρ₁的正方体合金块，合金块E通过滑轮A用轻细线悬吊着全部浸没在密度为ρ₂的液体中．当质量为60kg的人用F₁=75N的力竖直向下拉绳时，杠杆恰好在水平位置平衡，此时人对地面的压强为p₁=1.05×10⁴Pa；若把密度为ρ₂的液体换成密度为ρ₃的液体，合金块E全部浸没在密度为ρ₃的液体中，人用F₂的力竖直向下拉绳，杠杆在水平位置平衡，此时人对地面的压强为p₂=1.034×10⁴Pa．若ρ₂：ρ₃=5：4，取g=10N/kg，人与地面接触的面积保持不变，杠杆和滑轮的摩擦均可忽略不计，求：
（1）人用F₁拉绳时，杠杆C端所受的拉力大小；
（2）F₂的大小；
（3）合金块E的密度ρ₁．

Answer 1

分析：（1）对于滑轮B，除受到重力外，还受到两段绳子的拉力，由此得到杠杆C端受到的拉力；
（2）由于第一次人对地面的压力、压强已知，可以得到双脚与地面的接触面积；已知第二次对地面的压强和双脚与地面的接触面积，得到拉力F₂的大小；
（3）①已知两种情况下，人对绳子的拉力，利用杠杆的平衡条件可以得到两种情况下绳子对合金块的拉力；
②合金块浸没在液体中受到三个力的作用：重力、拉力和浮力，利用三者的等量关系列出方程组，求解合金块的密度．

解答：已知：m_A=m_B=2kg  g=10N/kg  F₁=75N  m_人=60kg  p₁=1.05×10⁴Pa  p₂=1.034×10⁴Pa  

ρ2

ρ3

=

5

4

  
求：（1）T_C1=？（2）F₂=？（3）ρ₁=？
解：
（1）两个滑轮受到的重力为G_A=G_B=m_Bg=2kg×10N/kg=20N，
人用F₁拉绳时，杠杆C端所受的拉力大小
T_C1=2F₁+G_B=75N×2+20N=170N；
（2）人受到的重力为G_人=m_人g=60kg×10N/kg=600N，
∵p=

F

S

，
∴p₁=

G人-F1

S

=

600N-75N

S

=

525N

S

=1.05×10⁴Pa，
解得S=0.05m²，
∵p₂=

G人-F2

S

，
∴F₂=G_人-p₂S=600N-1.034×10⁴Pa×0.05m²=83N；
（3）①设合金块E全部浸没在密度为ρ₂的液体中时绳对其拉力为T₁，对于人用F₁=75N的力拉绳时，
根据杠杆平衡条件有OC?（2F₁+G_B）=OD?（2T₁+G_A）
即2×170N=2T₁+20N，
解得T₁=160N；
同理，设合金块E全部浸没在密度为ρ₃的液体中时绳对其拉力为T₂，则有
OC?（2F₂+G_B）=OD?（2T₂+G_A）
即2×（2×83N+20N）=2T₂+20N，
解得T₂=176N；
②对于合金块E全部浸没时，根据平衡条件则有G=F_浮+T，即T=（ρ₁-ρ_液）gV
所以合金块E全部浸没在密度为ρ₂的液体中时有T₁=G-F_浮1=ρ₁gV-ρ₂gV=（ρ₁-ρ₂）gV
即160N=（ρ₁-ρ₂）gV   ①
同理，合金块E全部浸没在密度为ρ₃的液体中时有T₂=（ρ₁-ρ₃）gV
即176N=（ρ₁-ρ₃）gV   ②
又因

ρ2

ρ3

=

5

4

   ③，
联立上述几式，并代入数据解得ρ₁=3×10³kg/m³．
答：（1）人用F₁拉绳时，杠杆C端所受的拉力为170N；
（2）F₂为83N；
（3）合金块E的密度ρ₁为3×10³kg/m³．

点评：此题是一道力学综合题，涉及到杠杆平衡条件、力的作用的相互性、阿基米德原理、重力的计算和压强计算公式的应用，对物体进行正确的受力分析，在头脑中确定正确的等量关系，是解决此类难题的关键．