Question

如图所示，横截面为四分之一圆（半径为R）的柱体放在水平地面上，一根匀质木棒OA长为3R，重为G．木棒的O端与地面上的铰链连接，木棒搁在柱体上，各处摩擦均不计．现用一水平推力F作用在柱体竖直面上，使柱体沿着水平地面向左缓慢移动．问：
（1）当木棒与地面的夹角θ=30°时，柱体对木棒的弹力多大？
（2）此时水平推力F多大？
（3）在柱体向左缓慢移动过程中，柱体对木棒的弹力及水平推力F分别如何变化？

Answer 1

分析：（1）先求出柱体与木棒间弹力的力臂L_N，木棒重力的力臂LG，然后根据杠杆平衡条件：GL_G=F_NL_N求弹力．
（2）柱体在水平方向受推力F及木棒压力的分力F₁，在这两个力的作用下柱体处于平衡状态，平衡条件可求出水平推力．
（3）先求出弹力L_N及推力F大小的表达式，然后由数学知识tanθ，sinθ，随θ的增加而增大，来判断F_N，F大小如何变化．

解答：解：（1）如图示，重力的力臂LG=

3R

2

cosθ=

3R

2

cos30°=

3R

2

×

3

2

=

3 3 R

4

，柱体与木棒的弹力力臂L_N=

R

tan300

=

3

R，
由杠杆的平衡条件，得：GL_G=F_NL_N，F_N=

GLG

LN

=

G× 3 3 R 4

3R

=

3G

4

（2）柱体在水平方向受水平向左的推力F，水平向右的木棒对柱体压力的水平分力F₁=F_Nsinθ=F_Nsin30°=

3G

4

×

1

2

=

3G

8

．
柱体缓慢移动可认为柱体在水平方向平衡，由平衡条件得：F=F₁=

3G

8

．
（3）由（1）知L_N=

R

tanθ

，GL_G=F_NL_N，F_N=

GLG

LN

=

GR× 3 2 cosθ

R tanθ

G× 3 3 R 4

R tanθ

=

3

2

Gsinθ，在柱体缓慢向左移动的过程中，θ不断变大，从而sinθ不断变大，F_N不断变大．
在水平方向上，水平推力F=F_Nsinθ，在柱体缓慢向左移动的过程中，θ不断变大，sinθ不断增大，F_N不断变大，所以F不断变大．
答：（1）柱体对木棒的弹力为

3

4

G．（2）此时水平推力为

3

8

G．（3）在柱体向左缓慢移动过程中，柱体对木棒的弹力及水平推力F都不断变大．

点评：本题考查了：（1）杠杆平衡问题，求柱体对木棒弹力的关键是，准确地求出各力的力臂．
（2）物体的动态平衡问题，解此类题时先求出各力的表达式，再由数学知识讨论力如何变化．