Question

图是一张上海市地图的示意图．该地图的原始尺寸是27×38cm²．现有型号为WL-1000型的物理天平（最大称量1　000克，感量0.05克）一架，透明描图纸一张，大小为27×38cm²质量为8克的白纸若干张及剪刀一把等器材．

（1）请你设计一个测量上海市实际面积（图中阴影部分，不包含崇明、长兴、横沙三岛）的方法．（要求测量过程中不损坏原图）
（2）若要求测量值与图示面积之差不大于20平方公里（地图比例尺1厘米：600000厘米）．则测量过程中，至少要用几张白纸．

Answer 1

分析：利用天平可测出地图上表示上海市区部分的纸的质量，而这一质量与整张地图纸的质量之比也就等于上海市区面积与整张地图所表示的面积之比，由地图的比例尺和地图的实际尺寸可求得整张地图所表示的面积，再利用前述比值便可求得上海市区的面积了．

解答：解：（1）①将地图上表示上海市区域（阴影部分）描在描图纸上；
②用剪刀将描图纸所描表示上海市区域面积剪下，然后再按描图纸形状剪下若干张白纸；
③利用天平称出表示上海市区域面积白纸的质量；
④利用地图比例尺，求出上海市区域的实际面积．
（2）设称得表示上海市区域面积的白纸张质量为m．白纸每平方厘米的质量为ρ，地图比例尺为n，则计算上海市区域的实际面积公式为S=n²

m

ρ

．
根据上式计算可知．每平方厘米白纸的质量为ρ=

8g

27×38cm2

=7.8×10^-3g/cm²；
而20km²的实际面积对应的白纸面积为：S₁=

(20×1010)cm2

(6×105)2

=0.56cm²，
面积为S₁的白纸的质量为m₁=ρS₁=7.8×10^-3g/cm²×0.56cm²=4.36×10^-3g；
由于天平感量m₀=0.05克，对应的每张纸的质量的误差质量又不能超过m₁=4.36×10^-3g；所以至少需要白纸的张数
20平方公里的实际面积对应白纸的面积约为0.56平方厘米，0.56平方厘米白纸的质量为4.36×10^-3克．所以至少需要N=

m0

m1

=

5×10-2g

4.36×10-3g

=11.5（张），
答：至少需要白纸12张．

点评：此题主要考查密度公式的应用，此外还涉及到比例尺，因此解答此题还要求学生应具备一定的学科综合能力，此题属于难题，一般是竞赛题．