Question

9．现有由密度为ρ=8g/cm³的某种材料制成的a、b两个小球，其中一个小球是实心的，一个是空心的，两小球质量之比为m_a：m_b=6：5，体积之比为V_a：V_b=3：4．
（1）试判断哪一个小球是空心的并简要说明理由；
（2）该空心小球的平均密度为多少？
（3）该空心小球的空心部分的体积与该小球总体积之比为多少？

Answer 1

分析 （1）根据小球的质量与体积关系判断它们的密度关系，密度大的是实心的，密度小的是空心的．
（2）根据两球的密度关系求出空心球的密度．
（3）应用密度公式求出空心球材料的体积，空心部分的体积等于球的体积与材料体积之差，然后求出空心部分的体积．

解答 解：（1）两小球的平均密度之比：
$\frac{{ρ}_{a}}{{ρ}_{b}}$=$\frac{\frac{{m}_{a}}{{V}_{a}}}{\frac{{m}_{b}}{{V}_{b}}}$=$\frac{{m}_{a}{V}_{b}}{{m}_{b}{V}_{a}}$=$\frac{6}{5}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{5}$＞1  ①，则：ρ_b＜ρ_a，
由于空心球的平均密度小于实心球，所以b球是空心的．
（2）a球是实心的，ρ_a=ρ=8g/cm³
根据①式有：$\frac{8g/c{m}^{3}}{{ρ}_{b}}$=$\frac{8}{5}$，
解得，空心小球的平均密度ρ_b=5g/cm³．
（3）空心小球中实心部分的体积V_b实=$\frac{{m}_{b}}{ρ}$，
空心部分的体积V_空心=V_b-V_b实=V_b-$\frac{{m}_{b}}{ρ}$  ②
空心部分的体积与小球总体积之比：
$\frac{{V}_{空心}}{{V}_{b}}$=$\frac{{V}_{b}-\frac{{m}_{b}}{ρ}}{{V}_{b}}$=1-$\frac{{m}_{b}}{ρ{V}_{b}}$=1-$\frac{{ρ}_{b}}{ρ}$=1-$\frac{{ρ}_{b}}{{ρ}_{a}}$=1-$\frac{5}{8}$=$\frac{3}{8}$；
答：（1）空心球的平均密度小于实心球，所以b球是空心的；
（2）该空心小球的平均密度为5g/cm³．
（3）该空心小球的空心部分的体积与该小球总体积之比为3：8．

点评 本题考查了判断哪个球是实心的、求球的密度、球空心部分的体积与球的体积之比，分析清楚题意，应用密度公式即可正确解题．