Question

一个密度为2×10³千克/米³的圆柱体高10厘米，用一根弹簧把它吊起来，让它的一半浸没在水中（盛水的容器很大），此时弹簧比原长伸长了8厘米（已知弹簧的伸长量与所受的拉力成正比，即F=k△x，k对给定的弹簧来说是常数，△x是弹簧的伸长量），现再往容器中注入密度为0.8×10³千克/米³的油，并超过圆柱顶．问此时弹簧的伸长是多少？

Answer 1

分析：当圆柱体一半浸没在水中时，圆柱体受到重力、浮力和拉力作用，并且竖直向下的重力等于竖直向上的拉力和浮力之和，列出关系式；
当再往容器中注入密度为0.8×10³千克/米³的油，并超过圆柱顶时，圆柱体仍然受到重力、浮力和拉力，并且竖直向下的重力仍然等于竖直向上的拉力和浮力之和，列出关系式；
联立关系式解之即可．

解答：解：设圆柱体的横截面积为S，ρ为圆柱体密度，x₁为容器中是水时弹簧伸长8，x₂为容器中是水和油时弹簧伸长量，则
ρgSh-ρ_水gS×

1

2

h=kx₁------------①
ρgSh-ρ_水gS[

1

2

h-（x₁-x₂）]-ρ_油gS[

1

2

h+（x₁-x₂）]=kx₂--------②
①除以②得：

ρh- 1 2 ρ水h

ρh-ρ水[ 1 2 h-(x1-x2]-ρ油[ 1 2 h+(x1-x2)]

=

x1

x2

（2×10³kg/m³×0.1m-

1

2

×10³kg/m³×0.1m）x₂=[2×10³kg/m³×0.1m-

1

2

×10³kg/m³×0.1m+10³kg/m³×（0.08m-x₂）-

1

2

×800kg/m³×0.1m-800kg/m³×（0.08m-x₂）]×0.08m
解之：x₂=6.07cm．
答：此时弹簧的伸长是6.07cm．

点评：本题考查了阿基米德原理、密度、重力公式的灵活运用，关键是会对物体进行受力分析，根据平衡状态列出等价关系式，计算过程还要注意单位的换算．