Question

12．巧测一高度为L的薄壁瓶子的容积，如图所示，用刻度尺测出瓶底的直径D，瓶口朝上倒入一部分水，测出水面高度L₁，然后再堵住瓶口，将瓶子倒置，再测出水面离瓶底高度L₂，求证该瓶的容积V=$\frac{1}{4}$πD²（L₁+L₂）．

Answer 1

分析 虽然酒瓶的形状不规则，但是瓶子的下部可视圆柱体，由于瓶子的容积V_瓶不变，瓶中水的体积V_水也不变，可将上部分不规则的空气体积V_空，用倒置后上部分规则的空气体积V_空来代替．

解答 解：因为瓶子的底面积为S=$\frac{π{D}^{2}}{4}$，
瓶中水的体积V_水=SL₁=$\frac{π{D}^{2}{L}_{1}}{4}$，
瓶中空气体积V_空=SL₂=$\frac{π{D}^{2}{L}_{2}}{4}$，
所以酒瓶的容积为V=V_水+V_空=$\frac{π{D}^{2}{L}_{1}}{4}$+$\frac{π{D}^{2}{L}_{2}}{4}$=$\frac{1}{4}$πD²（L₁+L₂）．

点评 本题考查特殊的测量方法，关键是利用等效替换法测量形状不规则部分体积，即把瓶子正放、倒放结合起来得到水的体积和空着部分的体积．