Question

13．如图所示，两个轮轴通过齿轮咬合，第一个轮轴r₁=20cm，R₁=50cm，重物挂在轴上，所挂重物的重力G=2000N，第二个轮轴r₂=30cm，R₂=120cm，力F作用在轮上，问：
（1）要把重物G匀速提起，拉力F为多大？
（2）如果用力F以0.1m/s的速度转动半径为R₂的轮，那么重物上升的速度为多大？

Answer 1

分析 （1）当重物通过绳绕在轴上，作用力在轮上，且轮轴平衡时，轮半径是轴半径的几倍，轮上的作用力是轴上的几分之一，所以轮半径是轴半径的几倍，作用在轮上的力就是用绳绕在轴上的物体重力的几分之一．
（2）已知各个轮和轴的半径，可以计算出周长，又知同一个轮轴的伦和轴转动的周数相同；根据速度公式计算出第二个轮转动一周的时间t，计算出在时间t内第一个轴转动的路程，计算出轴转动的速度，即物体上升的速度．

解答 解：（1）由题意可知，第一个轮轮半径为50cm，轴半径为20cm，作用在轴上的力为2000N，则有：
$\frac{{F}_{1}}{G}$=$\frac{{r}_{1}}{{R}_{1}}$，
$\frac{{F}_{1}}{2000N}=\frac{20cm}{50cm}$，
F₁=800N；
第二个轮轮半径为120cm，轴半径为30cm，作用在轴上的力等于第一个轮轴作用在轮上的力，则有：
$\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}$=$\frac{{r}_{2}}{{R}_{2}}$，
$\frac{{F}_{2}}{800N}$=$\frac{30cm}{120cm}$，
F₂=200N；
（2）由v=$\frac{s}{t}$得，第二个轮和轴转动一周时转动的时间为t=$\frac{s}{v}$=$\frac{2π{R}_{2}}{v}$；
轮和轴同时转动，轮转动一周，轴转动一周；
在t时间内：
第二个轴转动一周通过的路程为s${\;}_{2}^{′}$=2πr₂，
第一个轮转动的路程等于第二个轴转动的路程，即s₁=2πr$\frac{2π{r}_{2}}{2π{R}_{1}}$₂，所以第一个轮转动的周数为：
n=$\frac{2π{r}_{2}}{2π{R}_{1}}$=$\frac{{r}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{30cm}{50cm}$=$\frac{3}{5}$，
则第一个轴转动的周数也为$\frac{3}{5}$周，所以第一个轴转动的路程为：
s${\;}_{1}^{′}$=$\frac{3}{5}$×2πr₁=$\frac{6}{5}$πr₁，
所以第一个轴的转动速度，即重物的上升的速度为：
v′=$\frac{{s}_{1}^{′}}{t}$=$\frac{\frac{6}{5}π{r}_{1}}{\frac{2π{R}_{2}}{v}}$=$\frac{3{r}_{1}v}{5{R}_{2}}$=$\frac{3×20cm×0.1m/s}{5×120cm}$=0.01m/s．
答：（1）要把重物G匀速提起，拉力F为200N；
（2）重物上升的速度为0.01m/s．

点评 本题综合考查了轮轴知识的综合应用，理解轮轴的原理以及轮轴组合转动时的路程关系是解题的关键，有一定难度．