Question

（2011?西城区一模）如图所示，有两只完全相同的溢水杯分别盛有密度不同的A、B两种液体，将两个体积均为V，所受重力分别为G_C、G_D的小球C、D分别放入两容器中，当两球静止时，两杯中液面相平，且C球有一半体积浸入液体中，D球全部浸入液体中．此时两种液体对甲、乙两容器底部的压强分别为p_A、p_B；甲、乙两容器对桌面的压强分别为p₁、p₂．要使C球刚好完全没入液体中，须对C球施加竖直向下的压力F，若用与F同样大小的力竖直向上提D球，可使它有V₁的体积露出液面．已知C、D两球的密度比为2：3．则下述判断正确的是（　　）

A．p₁＞p₂；2G_C=3G_D

B．3p₁=4p₂；p_A＞p_B

C．3G_C=2G_D；3V₁=2V

D．3p_A=4p_B；3V₁=V

Answer 1

分析：（1）两球体积相同，知道两球的体积关系，利用G=mg=ρVg求两球重力关系
（2）当两球静止时，C球有一半体积浸入液体中，利用阿基米德原理和漂浮条件得出液体A的密度与C球密度关系；
由于D球悬浮，可以得出液体B的密度与D球密度关系；进而得出两种液体的密度关系；又知道液面等高，利用液体压强公式求液体对容器底的压强关系；
（3）由于C球漂浮、D球悬浮，C球和D球排开的液体重都等于球本身重，而容器对桌面的压力都等于容器重加上液体重，可得容器对桌面的压力关系，同样的容器、受力面积s相同，根据压强公式得出甲、乙两容器对桌面的压强关系，因为不知道液体和容器重的关系，无法得出p₁和p₂的具体大小关系；
（4）要使C球刚好完全没入液体中，F+G_C=F_浮C；对于D球，F+F_浮D=G_D，据此求出V₁与V的具体关系．

解答：解：（1）∵G=mg=ρVg，两球体积相同，
∴G_C：G_D=ρ_CVg：ρ_DVg=ρ_C：ρ_D=2：3，即3G_C=2G_D；
（2）当两球静止时，C球有一半体积浸入液体中，
∵F_浮=ρ_液V_排g，
∴C球受到的浮力：
F_C=ρ_A

1

2

Vg，
∵C球漂浮，
∴F_C=G_C=ρ_CVg，
∴ρ_A

1

2

Vg=ρ_CVg，
ρ_A=2ρ_C，
∵D球悬浮，
∴ρ_B=ρ_D，
∴ρ_A：ρ_B=2ρ_C：ρ_D=2ρ_C：

3

2

ρ_C=4：3，
∵两容器液面等高，
∴液体对容器底的压强：
p_A：p_B=ρ_Agh：ρ_Bgh=ρ_A：ρ_B=4：3，即3p_A=4p_B；
（3）∵F_浮=G_排=G_物，
∴C球和D球排开的液体重都等于球本身重，
∴容器对桌面的压力都等于容器重加上液体重和球重，F_压=G_容器+G_液+G_球，
∵ρ_A＞ρ_B，
∴G_A＞G_B，
∴对桌面的压力：
F_A＞F_B，
∵p=

F

S

，同样的容器、s相同，
∴甲、乙两容器对桌面的压强：
p₁＞p₂；因为不知道液体和容器重的关系，无法得出p₁和p₂的具体关系；
（4）要使C球刚好完全没入液体中，F+G_C=F_浮C，即F+ρ_CVg=ρ_AVg，---①
对于D球，F+F_浮D=G_D，即F+ρ_B（V-V₁）g=ρ_DVg，-----②
①-②得：
ρ_CVg-ρ_B（V-V₁）g=ρ_AVg-ρ_DVg，
ρ_CVg-ρ_BVg+ρ_BV₁g=ρ_AVg-ρ_DVg，
∴ρ_BV₁g=ρ_AVg-ρ_DVg-ρ_CVg+ρ_BVg=ρ_AVg-ρ_CVg=ρ_CVg，
V₁：V=ρ_C：ρ_B=ρ_C：ρ_D=2：3，即3V₁=2V．
由上述分析可知，3G_C=2G_D、3p_A=4p_B、p₁＞p₂、3V₁=2V．
故选C．

点评：本题考查了学生对密度公式、重力公式、阿基米德原理、物体的浮沉条件、液体压强公式的掌握和运用，将4个问题分别研究得出答案是本题的关键．