Question

为了保护环境，治理水土流失，学校的环保小组设计并进行了河水含沙量的研究．
第一阶段是理论分析：分别以ρ_水、ρ_沙、ρ_泥水表示水、泥沙、泥沙水的密度，以x表示每立方米泥沙水中所含泥沙的质量（称做含沙量），导出了ρ_泥水与ρ_水、ρ_沙、x的关系式；然后作出了泥沙水的密度ρ_泥水随含沙量x变化的图象．
第二阶段是实验验证：在一个量筒里放入一定量干燥的黄土，再倒入一定量的清水，计算出含沙量x，并测出泥沙水的密度ρ_泥水；接着再多次加入清水配制成不同密度的泥沙水，进行同样的计算和测量，由此得出ρ_泥水与x的多组数据；然后根据这些数据作出了表示泥沙水的密度与含沙量关系的ρ_泥水-x图象．他们惊喜地发现，实验结果与理论分析是一致的．
第三阶段是实际测量：在一次山洪冲刷地面时，他们采集了40L的水样，称出其总质量为40.56kg．此前已经测出干燥的泥沙的密度ρ_沙：2.4×10³kg/m³，于是求出了洪水中的平均含沙量．
（1）请你参与环保小组第一阶段的工作，导出ρ_泥水与ρ_水、ρ_沙、x的关系式．然后根据关系式作出泥沙水的密度ρ泥水随含沙量x变化图象的草图．
（2）请你参与环保小组第三阶段的计算工作，求出洪水中的平均含沙量．

Answer 1

分析：（1）设含沙量为x，则体积为V的泥沙水中，沙的质量为xV，利用密度公式求沙的体积，进而得出水的体积、水的质量，可求水与沙的总质量，从而得出泥沙水的密度（泥沙水的密度与含沙量x的关系式），据此画出图象；
（2）由题知沙石的密度、水的密度，利用密度公式求出泥水的密度，代入ρ_泥水=ρ_水+kx求x的大小．

解答：解：（1）设含沙量为x，则体积为V的泥沙水中，沙的质量为xV，
沙的体积为

xV

ρ沙

，
水的体积为：V-

x

ρ沙

V，
水的质量为：ρ_水V（1-

x

ρ沙

），
水与沙的总质量为：ρ_水V（1-

x

ρ沙

）+xV，
泥沙水的密度：ρ_泥水=ρ_水（1-

x

ρ沙

）+x=ρ_水+x-

ρ水

ρ沙

x=ρ_水+（1-

ρ水

ρ沙

）x，
设k=1-

ρ水

ρ沙

，则ρ_泥水=ρ_水+kx，
泥沙水的密度随含沙量x变化图象如图所示：

（2）由题知，ρ_沙=2.4×10³kg/m³
泥水的密度：
ρ_泥水=

m泥水

V泥水

=

40.56kg

40×10-3m3

=1.014×10³kg/m³      
而

ρ水

ρ沙

=

1.0×103kg/m3

2.4×103kg/m3

≈0.417，
∴k=1-

ρ水

ρ沙

=1-0.417=0.583，
∵ρ_泥水=ρ_水+kx，
∴x=

ρ泥水-ρ水

k

=

(1.014-1)×103kg/m3

0.583

=24kg/m³，
答：（1）泥沙水的密度随含沙量x变化图象如图所示；
（2）洪水中的平均含沙量为24kg/m³．

点评：本题考查了学生对密度公式的掌握和运用，涉及到求混合物的密度和画图象，属于难题！