Question

14．2000多年前阿基米德巧断皇冠案至今仍为人津津乐道，但是小明学过密度知识以后，经过探究，作出如下陈述．
㈠情景再现
2000多年前，叙拉古的国王命令一个工匠替他打造一顶皇冠．国王给了工匠他所需要的数量的黄金．工匠的手艺非常高明，制做的皇冠精巧别致，而且质量跟当初国王所给的黄金一样大．可是，有人向国王报告说：“工匠制造皇冠时，私下吞没了一部分黄金，把同样重的银子掺了进去．”国王听后，也怀疑起来，就把阿基米德找来，让他想法判定一下．
阿基米德对国王说：“请允许我先做一个实验，才能把结果报告给你．”国王同意了．阿基米德把金王冠放入一个盛满水的桶中，测出溢出水的体积．然后把等质量的纯金也放入这个盛满水的桶中，测出溢出水的体积．发现前者大于后者，说明皇冠的密度比金块的密度小，这就证明皇冠不是用纯金制造的．”阿基米德有条理的讲述，使国王信服了．于是国王将那个工匠抓拿归案．
㈡收集证据并作如下假设：皇冠总质量为1000g，金匠掺了300g的银（因为如果超过这个比例，皇冠的颜色会有明显变化），阿基米德用的桶横截面积为400cm²．已知ρ_金=19.3g/cm³，ρ_银=10.6g/cm³．
疑点一：计算1000g纯金的体积是多少？掺了300g银的皇冠体积是多少？两者浸没在桶中使水面上升的高度相差多少？
疑点二：假如纯金皇冠体积与掺了300g银的皇冠体积相等，则空心部分体积是多少？12.76cm³
㈢总结陈词：根据疑点一计算的高度相差值非常小（填“小”或“大”），难以精确测量，另外还要考虑液体表面张力、人为因素等造成的误差，所以怀疑阿基米德的实验的可靠性，根据疑点二如果匠人在制作的时候有意或无意的制作一些空心部分，则肯定会因此而有灭顶之灾．所以认为匠人有罪的证据不足，应予以重新测量．
㈣如果皇冠（直径约20cm）是实心的，利用托盘天平1（称量500g）、托盘天平2（称量2000g）、量筒1（250mL最小分度值20mL）、量筒2（100mL最小分度值1mL）、大容器（直径25cm）、滴管等实验器材测量皇冠的密度．
选择器材：托盘天平2、量筒2、大容器（直径25cm）、滴管等
实验步骤（可以配图说明）：
最后表达式：ρ_皇冠=$\frac{m}{{V}_{2}-{V}_{1}}$
影响实验精确的因素有：细线要尽量细，从而减小体积测量的误差（写出一点即可）
㈤请你对这次《千年疑案再探》谈谈你的想法．
（1）对于小明所提出的两个疑点，你的想法是：这种方法不是很精确
（2）对于小明的这种质疑精神，你的想法是：积极鼓励表扬．

Answer 1

分析 （1）根据题目给出的皇冠的质量是1000g和金的密度，利用V=$\frac{m}{ρ}$可求出1000g纯金的体积；
求出300g白银的体积加上700g金的体积即为掺了300g银的皇冠体积；
掺了白银的皇冠体积减去纯金的皇冠体积，再除以阿基米德用的桶横截面积，即为两者浸没在桶中使水面上升的高度差．
（2）掺了白银的皇冠体积减去纯金的皇冠体积，即为空心部分体积：
（3）根据疑点一计算的高度相差值（0.0319cm）来作答；
（4）要测物体的密度，首先要测质量和体积，根据题中提供的托盘天平的最大称量范围和量筒的量程来选择；
实验的关键是测出皇冠的体积，可用细线把它捆在一起浸入水中，该实验还需要的辅助器材有细线．
用排水法测体积．液体表面张力、人为因素等造成的误差，读取体积时有可能出现误差．
（5）一个定理或公式的确定，是科学家经过无数次的实验总结得出，因此对于这个《千年疑案再探》，仅凭一次实验是不能作出结论的，而且在实验中要考虑多方面要考虑多方面造成的误差，不过对小明这种勇于探索的精神应给予肯定．言之有理即可．

解答 解：
（二）：
疑点一：
由ρ=$\frac{m}{V}$可得1000g纯金的体积：
V=$\frac{m}{{ρ}_{金}}$=$\frac{1000g}{19.3g/c{m}^{3}}$=51.81cm³，
300g白银的体积为：V₁=$\frac{{m}_{银}}{{ρ}_{银}}$=$\frac{300g}{10.6g/c{m}^{3}}$=28.30cm³，
金的体积为V₂=$\frac{{m}_{金}}{{ρ}_{金}}$=$\frac{1000g-300g}{19.3g/c{m}^{3}}$=36.27cm³，
掺了300g银的皇冠体积为V'=V₁+V₂=28.30cm³+36.27cm³=64.57cm³，
两者浸没在桶中使水面上升的高度差：h=$\frac{V′-V}{S}$=$\frac{64.57c{m}^{3}-51.81c{m}^{3}}{400c{m}^{2}}$=0.0319cm．
疑点二：
空心部分体积是：V-V'=64.57cm³-51.81cm³=12.76cm³，
㈢总结陈词：
由计算的高度相差值为0.0319cm．可知高度相差值非常小；
（四）：
要测物体的密度，首先要选择测物体的质量的仪器：托盘天平，测物体体积的仪器量筒，由皇冠的质量和体积可知，选择托盘天平2和量筒2．
实验步骤：
（1）用天平称出皇冠的质量m；
（2）将量筒内装入一定体积的水，记下水位位置的读数V₁；
（3）把皇冠用细线栓在一起，放入量筒内，让皇冠全部浸入水中，再记下水面的位置的读数V₂；
（4）皇冠的密度表达式ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{m}{{V}_{2}-{V}_{1}}$．
影响实验精确的因素很多，如：细线要尽量细，从而减小体积测量的误差．
（五）对于小明所提出的两个疑点，他的这种方法不是很精确．不过对于小明的这种质疑精神，应积极鼓励表扬．
故答案为：
（二）疑点一：1000g纯金的体积是51.81cm³，掺了300g银的皇冠体积是64.57cm³；两者浸没在桶中使水面上升的高度相差0.0319cm；
疑点二：12.76cm³；
（三）小；
（四）托盘天平2；量筒2；
步骤：（1）用天平称出皇冠的质量m；
（2）将量筒内装入一定体积的水，记下水位位置的读数V₁；
（3）把皇冠用细线栓在一起，放入量筒内，让皇冠全部浸入水中，再记下水面的位置的读数V₂；
$\frac{m}{{V}_{2}-{V}_{1}}$；细线要尽量细，从而减小体积测量的误差；
（五）（1）这种方法不是很精确；（2）积极鼓励表扬．

点评 此题考查了空心、混合物的密度计算，同时还考查了测量密度实验，排水法测体积是阿基米德发现的，本题重现排水法的历史渊源，并强化测固体密度的基本方法，学习中不仅要掌握测固体密度的基本方法：用天平测质量，根据排水法用量筒测密度，用ρ=$\frac{m}{V}$计算密度，还要掌握用数学公式、排油法、排沙法等测固体体积．是一道好题！