Question

某食盐溶液的密度随深度h变化而变化，其变化规律为ρ=ρ₀+kh，式中ρ₀=1．O×10³kg/m³．为了求出式中的k值，现向溶液中投入两只用一根细线系在一起的小球A和B，每个球的体积为V=1cm³，其质量分别为 m_A=1.2g和m_B=1.4g．当将小球A置于水下，球心距水面的距离为O.25m时．A、B两个球在溶液中均处于静止，且线是拉紧的，两球心的距离为10cm．试求k值的大小．

Answer 1

设A球在液面上h_A处，B球在液面上h_B处，由于m_B＞m_A，所以B球应在A球下方；
即h_B=h_A+l=0.25m+0.1m=0.35m；
将A、B看作整体，根据平衡条件可得：
ρ_AgV_A+ρ_BgV_B=m_Ag+m_Bg
则A、B密度表达式及V_A=V_B=V=1cm³，m_A=1.2g，m_B=1.4g等代入可得：
（ρ₀+kh_A）gV+（ρ₀+kh_B）gV=m_Ag+m_Bg；
k=

(mA+mB)g-2ρ0gV

(hA+hB)gV

=

(1.2×10-3kg+1.4×10-3kg)-2×1.0×103kg/m3×10-6m3

(0.25m+0.35m)×10-6m3

=1.0×10³kg/m⁴；
答：k为1.0×10³kg/m⁴．