Question

2．电学量的变化往往能够用来反映力学、热学、光学等物理量的变化，如图甲所示是小明设计的一种家庭水箱的水位测量装置的示意图，图中的电流表示数可以反映水箱中水位的高低，已知电源电压是12V且保持不变，电流表量程是0-0.6A，保护电阻R₀阻值为20Ω，R是长为20cm的均匀电阻线，阻值与其长度成正比，其最大值为20Ω，金属滑片P与R接触良好且不计摩擦，圆柱体A长80cm，底面积为200cm²，当水位处于最高处h_max时，A刚好浸没在水中，滑片P恰好在a端；当水箱里没有水时，滑片P恰好在b端，此时A与容器底接触但对水箱底的压力刚好为0，弹簧伸长的长度x始终与受到的拉力F成正比．（g=10N/kg）
求：（1）当水位最高时电流表的示数为0.6A；当水位降低时电流表的示数减小（选填“增大”、“减小”或“不变”）
（2）推导出水位高度H与电流表示数I之间的关系式，并在如图乙所示的电流表表盘上标出水位为0、水位为$\frac{{h}_{max}}{2}$和水位为h_max时对应的电流表指针的位置．
（3）若将图甲电路中的电流表改为电压表，同时使电压表反映容器中水位的高低的刻度均匀，请在图乙中添加电压表，并连接电路，且水箱里没有水时电压表的示数为零．

Answer 1

分析 （1）当水位处于最高处时滑片恰好位于a端，接入电路中的电阻为0，电路为R₀的简单电路，根据欧姆定律求出电路中电流表的示数；当水位降低时，滑片下移，R接入电路中的电阻增大，根据欧姆定律可知电路中电流的变化；
（2）水箱里没有水时，滑片位于b端，弹簧测力计的示数和圆柱体的重力相等；当水位处于最大处h_max时，滑片在a端，圆柱体浸没，受到的浮力最大，根据阿基米德原理求出圆柱体受到的最大浮力，此时弹簧测力计的示数等于圆柱体的重力减去受到的浮力，据此得出弹簧长度缩短量和减小弹力的关系；根据弹簧伸长的长度x始终与受到的拉力F成正比和电阻线R的阻值与其长度成正比得出容器中水的深度为H时物体A浸入的深度h，然后得出滑动变阻器接入电路中的电阻，根据电阻的串联和欧姆定律得出电路中的电流，即可求出水位高度H与电流表示数I之间的关系式，进一步得出水位为0、水位为$\frac{{h}_{max}}{2}$和水位为h_max时对应的电流表指针的位置；
（3）根据电压表反映容器中水位的高低的刻度均匀可知滑片的移动不能改变接入电路中的电阻，然后结合水箱里没有水时电压表的示数为零得出改装后的电路图．

解答 解：（1）当水位处于最高处时滑片恰好位于a端，接入电路中的电阻为0，电路为R₀的简单电路，
则电路中电流表的示数：
I_大=$\frac{U}{{R}_{0}}$=$\frac{12V}{20Ω}$=0.6A；
当水位降低时，滑片下移，R接入电路中的电阻增大，电路中的总电阻增大，由I=$\frac{U}{R}$可知，电路中电流表的示数减小；
（2）水箱里没有水时，滑片位于b端，圆柱体受力F₁=G，
当水位处于最大处h_max时，滑片在a端，圆柱体浸没，受到的浮力最大为F_浮m，
圆柱体受到的最大浮力：
F_浮m=ρ_水gV_排=ρ_水gS_Ah_A=1.0×10³kg/m³×10N/kg×200×10^-4m²×80×10^-2m=160N，
此时物体受力G=F_浮m+F₂，则F₂=G-F_浮m，
所以，△F=F₁-F₂=F_浮m=160N，即弹簧弹力减小F_浮m=160N，弹簧长度缩短L=0.2m，
当水箱中水位为H（0＜H＜h_max）时，弹簧的拉力为F，物体受力G=F_浮+F，弹簧长度相比H=0缩短了△x，
因弹簧伸长的长度x始终与受到的拉力F成正比，且电阻线R的阻值与其长度成正比，
所以，$\frac{{F}_{浮}}{{F}_{浮m}}$=$\frac{G-F}{{F}_{浮m}}$=$\frac{△x}{L}$=$\frac{△R}{{R}_{m}}$，
设容器中水的深度为H时，物体A浸入的深度为h，
因G-F=F_浮，
所以，$\frac{△R}{{R}_{m}}$F_浮m=ρ_水gS_Ah=ρ_水gS_A（H-△x）=ρ_水gS_A（H-$\frac{△R}{{R}_{m}}$L），
整理可得：△R=$\frac{{ρ}_{水}g{S}_{A}H}{{F}_{浮m}+{ρ}_{水}g{S}_{A}L}$R_m
=$\frac{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg×200×1{0}^{-4}{m}^{2}H}{160N+1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg×200×1{0}^{-4}{m}^{2}×0.2m}$×20Ω=20Ω/m×H，
则滑动变阻器接入电路中的电阻：
R=R_m-△R=20Ω-20Ω/m×H，
因串联电路中总电阻等于各分电阻之和，
所以，电路中的电流：
I=$\frac{U}{R+{R}_{0}}$=$\frac{12V}{（20Ω-20Ω/m×H）+20Ω}$=$\frac{3V}{10Ω-5Ω/m×H}$，
所以，H=2m-$\frac{0.6}{I}$m•A，
当H=0时，I=$\frac{3V}{10Ω-5Ω/m×0}$=0.3A，
当H=h_max时，I=0.6A，则h_max=2m-$\frac{0.6}{0.6A}$m•A=1m，
当H=$\frac{{h}_{max}}{2}$=$\frac{1m}{2}$=0.5m时，I=$\frac{3V}{10Ω-5Ω/m×0.5m}$=0.4A，
水位为0、水位为$\frac{{h}_{max}}{2}$和水位为h_max时对应的电流表指针的位置，如下图所示：

（3）要使电压表反映容器中水位的高低的刻度均匀，则电路中的电流不变，即滑片的移动不能改变接入电路中的电阻，同时水箱里没有水时电压表的示数为零，则改装后的电路图如下图所示：

答：（1）0.6A；减小；
（2）水位高度H与电流表示数I之间的关系式为H=2m-$\frac{0.6}{I}$m•A；水位为0、水位为$\frac{{h}_{max}}{2}$和水位为h_max时对应电流表指针的位置如上图所示；
（3）改装后的电路图如上图所示．．

点评 本题考查了串联电路的特点和欧姆定律、阿基米德原理的应用以及电路的动态分析，正确的得出水位高度H时弹簧缩短长度、弹簧弹力浸没深度的关系是关键．