如图所示.在平面内.有一电子源持续不断地沿x正方向每秒发射出N个速率均为v的电子.形成宽为2b.在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流．电子流沿x方向射人一个半径为R.中心位于原点O的圆形匀强磁场区域.磁场方向垂直xOy平面向里.电子经过磁场偏转后均从P点射出．在磁场区域的正下方有一对平行于x轴的金属平行板K和A.其中K板与P点的距离为d.中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．如图所示，在平面内，有一电子源持续不断地沿x正方向每秒发射出N个速率均为v的电子，形成宽为2b、在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流．电子流沿x方向射人一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里，电子经过磁场偏转后均从P点射出．在磁场区域的正下方有一对平行于x轴的金属平行板K和A，其中K板与P点的距离为d，中间开有宽度为2l且关于y轴对称的小孔．K板接地，A与K两板间加有正负、大小均可调的电压U_ak．穿过K板小孔到达A板的所有电子被收集且导出，从而形成电流．已知$b=\frac{{\sqrt{3}}}{2}R$，d=l，电子质量为m，电荷量为e，忽略电子间的相互作用．

（1）求磁感应强度B的大小；
（2）求电子流从P点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围；
（3）当U_AK=0时，每秒经过极板K上的小孔到达极板A的电子数；
（4）画出电流i随U_AK变化的关系曲线（在答题纸的方格纸上）．

分析（1）电子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律可以求出磁感应强度．
（2）求出电子从P点射出时与负y轴方向的夹角极限值，然后确定其范围．
（3）求出进入小孔的电子偏角，然后求出每秒经过极板K上的小孔到达板A的电子数．
（4）由动能定理求出遏制电压，然后求出电流的表达式，再作出图象．

解答解：（1）电子均从P点射出，电子做圆周运动的轨道半径：r=R，
电子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{mv}{eR}$；
（2）上端电子从P点射出时与负y轴最大夹角θ_m，由几何关系可得sinθ_m=$\frac{b}{R}$，
得：θ_m=60°．
同理下端电子从P点射出时与负y轴最大夹角也为60°，范围是-60°≤θ≤60°；
（3）进入小孔的电子偏角正切值：tanα=$\frac{l}{d}$，
解得：α=45°，y′=Rsinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，
每秒进入两极板间的电子数n：
$\frac{n}{N}$=$\frac{Y′}{b}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$=0.82，
解得：n=0.82N；
（4）由动能定理得出遏制电压U_c：
UC=-$\frac{1}{2e}$mv²，
与负y轴成45°角的电子的运动轨迹刚好与A板相切，其逆过程是类平抛运动，
达到饱和电流所需的最小反向电压为：U′=$\frac{1}{4}$emv²，
或根据（3）可得饱和电流大小为：i_max=0.82Ne，图象如图所示：

答：（1）磁感应强度B的大小为$\frac{mv}{eR}$；
（2）电子流从P点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围是-60°≤θ≤60°；
（3）当U_AK=0时，每秒经过极板K上的小孔到达板A的电子数为0.82N；
（4）电流i随U_AK变化的关系曲线如图所示．

点评本题考查了电子在磁场与电场中的运动，分析清楚电子运动过程、作出电子运动轨迹、求出电子在磁场中做圆周运动的轨道半径是解题的关键，解题时注意求出极限值然后再确定范围．

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