Question

如图所示，一面积很大的水池中，竖直立着一个高为H=15m的管道，活塞面积为S=100cm²，活塞与管道之间严格密封，且不计活塞与管壁间的摩擦，活塞质量不计，初始位置恰好与水池水面接触，活塞与一根轻绳连接，通过两个定滑轮达到岸上，某同学通过绳子为了把活塞拉出管道，试求该同学至少需要做多少功．已知水的密度为ρ=1×10³kg/m³，大气压为p₀=1×10⁵Pa，g取10N/kg．

Answer 1

分析：解决本题需要掌握：液体压强的产生；正确判断活塞和液面之间是否出现真空；活塞上升过程分为两个过程，正确求出这两个过程中拉力做功；在求功过程中，对于变力做功，要正确应用功能关系求解．

解答：解：在拉力把把活塞缓慢提高H=15m的过程中，在大气压力的作用下，活塞下面的水会随活塞上升而上升．设水能够上升的最大为h₁，则当ρgh₁=P₀时，水平不会再上升，即h₁=10m．
当水不随活塞上升后，在活塞再上升h₂=H-h₁=5.0m的过程中，活塞由于缓慢上升而处于平衡状态，则活塞受到的拉力等于大气压力，
由平衡条件得到：F₂=p₀S，则此时拉力做功为：W₂=p₀Sh₂=1×10⁵Pa×100×10^-4×5m=5000J．
在活塞上升10m的过程中，同样活塞由于受力平衡而合力为零，当水柱的高度为h时对活塞进行受力分析：
活塞受到向上的拉力F₁、竖直向下的大气压力p₀S及活塞与水面接触处由于大气压强和水柱产生的压强差产生的竖直向上的压力（p₀-ρgh）S，
由平衡条件得：F₁+（p₀-ρgh）S=p₀S，所以F₁=ρghS，由于F₁是变力，在该过程中，大气压力对水做功为零，所以拉力F₁所做的功等于水的重力势能的增加，
即W₁=

ρgh1s

2

=

1×103kg/m3×10N/kg×10m×100×10-4m2

2

=500J
所以整个过程中拉力所做的功为W=W₁+W₂=5500J．
答：该同学至少需要做多少功5500J．

点评：本题较难，即涉及有关压强的运算，又涉及功能关系，而且过程比较复杂，尤其是要判断活塞和液面之间是否出现真空．无论多么复杂过程，都是由一些简单无论过程组成，要注重过程分析，正确选用所学规律进行求解．