Question

如图所示，弹簧上端固定于天花板，下端连接一圆柱形重物．先用一竖直细线拉住重物，使弹簧处于原长，此时水平桌面上烧杯中的水面正好与圆柱体底面接触．已知圆柱形重物的截面积为10cm²，长度为10cm；烧杯横截面积20cm²，弹簧每伸长1cm的拉力为0.3N，g=10N/kg，重物密度为水的两倍，水的密度为10³kg/m³．细线撤走后，重物重新处于平衡时，弹簧的伸长量为多少？

Answer 1

分析：设细线撤走后，重物重新处于平衡时，弹簧的伸长量为△L，根据圆柱形重物底面积和烧杯底面积的关系确定水面上升高度和圆柱形重物将浸入水中深度；先求出圆柱形重物的体积、圆柱形重物的密度，利用G=mg=ρVg计算圆柱形重物的重力，利用阿基米德原理求圆柱形重物受到的浮力，根据弹簧的伸长与拉力成正比求圆柱形重物受到的拉力；
而F_浮+F_拉=G，据此求出细线撤走后，重物重新处于平衡时弹簧的伸长量．

解答：解：设细线撤走后，重物重新处于平衡时，弹簧的伸长量为△L，
∵圆柱形重物底面积S₁=10cm²，烧杯底面积S₂=20cm²，S₂=2S₁，
∴圆柱形重物伸长△L时，水面将上升△L，圆柱形重物将浸入水中2△L，
圆柱形重物的体积：
V=S₁L=10cm²×10cm=100cm³=1×10^-4m²，
圆柱形重物的密度：
ρ=2ρ_水=2×10³kg/m³，
圆柱形重物的重力：
G=mg=ρVg=2×10³kg/m³×1×10^-4m³×10N/kg=2N，
圆柱形重物受到的浮力：
F_浮=ρ_水V_排g=ρ_水×S₂×△L×g，
∵弹簧的伸长与拉力成正比，
即：

F拉

△L

=

0.3N

0.01m

，
∴圆柱形重物受到的拉力：
F_拉=

0.3N

0.01m

×△L，
∵F_浮+F_拉=G，
即：ρ_水×S₂×△L×g+

0.3N

0.01m

×△L=2N，
1×10³kg/m³×2×10^-4m²×△L×10N/kg+

0.3N

0.01m

×△L=2N，
解得：△L=0.04m=4cm．
答：细线撤走后，重物重新处于平衡时，弹簧的伸长量为4cm．

点评：本题考查了学生对密度公式、重力公式、阿基米德原理的掌握和运用，根据圆柱形重物底面积和烧杯底面积的关系确定水面上升高度和圆柱形重物将浸入水中深度是本题的关键．