Question

4．演绎式探究-探究太阳的引力系数：
（1）宇宙中任何两个物体之间都存在万有引力，万有引力的大小F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，其中m₁、m₂分别为两个物体间的距离，万有引力常数G=6.67×10^-11N•m²/kg²．物体间引力和距离一定时，两个物体质量m₁、m₂分的关系可以用如图中图线b来表示．
（2）行星绕恒星的运动可以近似地看作匀速圆周运动．行星受到一个恒定的指向恒星的向心力，向心力的大小F_向=mω²r，其中m为行星质量，r为两星之间的距离，ω为行星做圆周运动的角速度，其大小等于单位时间内行星与恒星连线转过的角度．行星绕恒星运动一周所用的时间用周期T表示，角速度ω与转动周期T的关系为：ω=$\frac{2π}{T}$．行星所受向心力F_向的大小等于恒星对行星的引力F_引的大小．
    每个星球对在它表面附件的物体都存在引力，引力与物体质量的比值叫作引力系数，用g表示，我们学过地球的引力系数g_地=10N/kg．对于每个星球来讲，下列公式成立：R²g=GM，其中R为星球半径，g为星球引力系数，M为星球质量，万有引力常数G=6.67×10^-11N•m²/kg²．
已知地球质量为m，地球到太阳的距离为L，太阳半径为R，地球的公转周期为T．请你推导出太阳的引力系数g_日=$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力的大小F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，分析其中已知量和不为的量和变化的量，可得两个物体质量m₁、m₂分的关系，从而确定图象；
（2）太阳为恒星，地球为太阳的行星，根据它们之间的万有引力公式和它们之间的向心力公式，结合对于太阳来讲，R²g=GM进行推导．

解答 解：（1）万有引力的大小F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，其中m₁、m₂分别为两个物体间的距离，万有引力常数：
G=6.67×10^-11N•m²/kg²．由上式可知：
物体间引力和距离一定时，两个物体质量m₁、m₂分之积为定值，为反比例函数的关系，故可以用如图中图线b来表示．
（2）地球为太阳的行星，根据万有引力公式，F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=G$\frac{mM}{{L}^{2}}$-----①，
它们之间的向心力：
F_向=mω²r=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$-----②；
因地球所受向心力F_向的大小等于太阳对地球的引力F_引的大小．由①②得：
F_引=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=G$\frac{mM}{{L}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$L，
即GM=$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{{T}^{2}}$------③；
又对于每个星球来讲，R²g_日=GM，
g_日=$\frac{GM}{{R}^{2}}$-----④，将③代入④得：
太阳的引力系数g_日=$\frac{\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{{T}^{2}}}{{R}^{2}}$$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．
故答案为：（1）b；（2）如上所示．

点评 本题探究太阳的引力系数，考查根据公式确定函数关系及图象，关键是从题中获取有效的信息，体现了和高中物理知识的衔接．