Question

1．如图所示，一游泳池的水面上浮有一只载有物块A的小船，小船的质量为M，物块A的质量为m，水的密度为ρ₁，物块A的密度为ρ₂．
（1）求小船排开水的体积V_排；
（2）如果将物块A从船中投入池水中，试讨论池中水面的升降情况．（物块A为非水溶性的实心固体）

Answer 1

分析 （1）利用物体漂浮，浮力等于重力，推导出浮力的表达式，然后利用浮力公式变形推导出小船排开水的体积V_排；
（2）如果将物块A从船中投入池水中，可分两种情况进行讨论，一是如果ρ₂＞ρ₁，二是如果ρ₂≤ρ₁，根据物体和小船在水中的状态，综合应用重力公式、密度公式、浮力公式、物体的浮沉条件计算出总排水量，判断池中水面的升降情况．

解答 解：（1）由于载物小船是浮于水面的，所以船受到的浮力等于船及物A所受的总重力，即F_浮=G_船+G_物=（M+m）g．
由F_浮=ρgV_排可得，V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{1}g}$=$\frac{（M+m）g}{{ρ}_{1}g}$=$\frac{（M+m）}{{ρ}_{1}}$；
（2）讨论：
①如果ρ₂＞ρ₁，物块A沉于池底，它排开水的体积就是它本身的体积，
根据$ρ=\frac{m}{V}$可得，V_A=$\frac{m}{{ρ}_{2}}$，
空船浮于水面，它受到的浮力等于船受到的重力，设它此时排开水的体积为V_船排，
V_船排=$\frac{{F}_{浮}^{′}}{{ρ}_{1}g}$=$\frac{Mg}{{ρ}_{1}g}$=$\frac{M}{{ρ}_{1}}$，故物块A与船总排开水的体积V_总1=$\frac{m}{{ρ}_{2}}$+$\frac{M}{{ρ}_{1}}$，
因为ρ₂＞ρ₁，
所以，V_总1＜V_排  即总排水量减少，水池水面降低．
②如果ρ₂≤ρ₁，物块A漂浮于水面或悬浮于水中，
设它排开水的体积为V_A排，此时，浮力等于它的重力，V_A排=$\frac{m}{{ρ}_{1}}$，
所以，船与物块A的总排开水的体积V_总2=$\frac{m}{{ρ}_{1}}$+M$\frac{M}{{ρ}_{1}}$，即总排水量不变，池的水面高度不变．
答：（1）小船排开水的体积V_排为$\frac{（M+m）}{{ρ}_{1}}$；
（2）①如果ρ₂＞ρ₁，水池水面降低；②如果ρ₂≤ρ₁，水池水面不变．

点评 此题考查阿基米德原理，实际上是一道复杂的力学综合题，涉及到物体的浮沉条件、重力公式、密度公式等诸多知识点，要求学生具备扎实的学科知识，难度很大！