Question

如图所示，B、C两点相距60米，C、A两点相距80米，AC与BC相互垂直．甲以2米/秒的速度由B点向C点运动，乙以4米/秒的速度同时由C点向A点运动．经过________秒，甲、乙之间的距离最近；经过________秒，甲、乙所处位置与C点构成的三角形和三角形ABC可能相似．

Answer 1

6    或12
分析：（1）甲从B向C运动到D点，乙从C向A运动E点，构成Rt△DCE，求出DC、CE，根据勾股定理求出DE，得到一个二次函数，当自变量为-时二次函数有最小值．如图1．
（2）甲从B向C运动到D点，乙从C向A运动E点，△DCE∽△ACB，根据相似三角形对应线段成比例求出甲乙的运动时间．如图1．
甲从B向C运动到M点，乙从C向A运动N点，△CMN∽△CBA，根据相似三角形对应线段成比例求出甲乙的运动时间．如图2．

解答：（1）设甲乙运动时间为t，
甲的运动速度为2m/s，乙的运动速度为4m/s，
根据速度公式得：DB=2m/s?t，CE=4m/s?t，
因为，BC=60m，所以DC=BC-BD=60m-2m/s?t，
根据勾股定理得，DE²=CD²+CE²，
设y=DE，所以，y²=（60m-2m/s?t）²+（4m/s?t）²，
整理得，y²=20t²-240t+3600，
当t=-=-=6s时，y最小，即甲乙距离最短．
（2）①如分析中图1：
甲从B向C运动到D点，乙从C向A运动E点，△DCE∽△ACB，
所以=，=．
t=s．
②如分析中图2，甲从B向C运动到M点，乙从C向A运动N点，△CMN∽△CBA，
所以=，
CM=60m-2m/s?t，CN=4m/s?t，
=，
所以，t=12s．
故答案为：6；或12．
点评：本题重要的考查了相似三角形和二次函数的最小值，有点像数学题，尤其是相似三角形的两种情况，学生一般不容易考查全面，容易出现错误．