Question

10．如图所示为一个竖直放置在水平桌面上的圆柱形容器，内装密度为ρ的液体．将木块B放入该液体中，静止后木块B露出液面的体积与其总体积之比为7：12，把金属块A放在木块B上面，木块B刚好没入液体中．若已知金属块A的体积与木块B的体积之比为3：8，则金属块A的密度为$\frac{14}{9}$ρ，木块B的密度为$\frac{5}{12}$ρ．

Answer 1

分析 （1）先后分析将将木块B放入该液体中，露出水面的体积与总体积之比为7：12，即浸在液体中的体积与总体积之比为：5：12；
（2）把金属块A放在木块B上面，木块B刚好没入液体中，木块所受浮力等于木块与铁块所受重力之和；
（3）若已知金属块A的体积与木块B的体积比为3：8，即：V_A：V_B=3：8；
把综上分析列出的方程组成方程组可求金属块A的密度和金属块与木块的密度之比．

解答 解：（1）将木块B放入该液体中，木块漂浮，木块所受浮力等于重力，即：F_B=G_B=m_Bg=ρ_BV_Bg=ρV_排g，
静止后木块B露出液面的体积与其总体积之比为7：12，即：V_排：V_B=5：12，故：V_排$\frac{5}{12}$V_B；
结合以上两式得：F_B=G_B=ρV_排g=ρ$\frac{5}{12}$V_Bg=ρ_BV_Bg，即：ρ_B=$\frac{5}{12}$ρ---------①
把金属块A放在木块B上，木块仍漂浮，所受浮力等于木块与铁块重力之和，此时排开液体的体积等于木块B的体积：V_排′=V_B；
即：ρV_排′g=ρV_Bg=G_A+G_B，即：ρgV_B=ρ_AgV_A+ρ_BgV_B------------②
金属块A的体积与木块B的体积比：V_A：V_B=3：8----------③
结合①②③式得出：ρgV_B=ρ_Ag$\frac{3}{8}$V_B+$\frac{5}{12}$ρgV_B；即：$\frac{3}{8}$ρA=$\frac{7}{12}$ρ；故ρ_A=$\frac{14}{9}$ρ；
（2）因：ρ_A=$\frac{14}{9}$ρ；ρ_B=$\frac{5}{12}$ρ．
故答案为：$\frac{14}{9}$ρ；$\frac{5}{12}$ρ．

点评 本题考查了密度的计算，涉及到阿基米德原理、物体浮沉条件和重力公式，根据浮沉条件得出AB密度和液体密度之间的关系是关键．