Question

如图所示，有一连通器，粗管的直径是细管直径的4倍，先在连通器中装入水银，然后在细管中注入70厘米高的水．求：
（1）粗管中水银面上升多少？细管中水银面下降多少？
（2）如果将这些水倒入粗管内，细管中水银面比粗管中水银面高多少？（ρ_水银=13.6×10³千克/米³）

Answer 1

【答案】分析：（1）在水银与水的交界面处水产生的压强和左侧水平线以上的水银产生的压强相等．已知粗管和细管直径之比，可以得到两管横截面积之比；注入水后，右侧水银下降的体积和左侧上升的体积相同，利用h=可以得到深度的数值．
（2）已知在细管中水的深度和两管的直径关系，如果将水注入粗管后，水的体积不变，则在粗管中的深度可以得到；
细管中的水银面与粗管中水银面的高度差产生的压强与粗管中水柱产生的压强相等，由此可以得到两水银面的高度差．
解答：解：
（1）根据水和水银面交界处压强相等，则有P_水银=p_水    ①
又根据水注入后压下的水银体积V₁与另一管中水银上升的体积相等，则有
V₁=V₂   ②
设水压下的部分水银高度为△h₁，另一管中水银上升△h₂，分别代入①②，则有
ρ_水银g（△h₁+△h₂）=ρ_水gh ③
S_小△h₁=S_大△h₂ ④
由S_小=πr²=π
S_大=πR²=π代入
得：△h_l=16△h₂
把h=70cm=0.7m和△h₁=16△h₂代入③
解得△h₂=0.302cm，△h_l=4.84cm．
即细管中水银下降了4.84cm，粗管中上升了0.302cm．
（2）将水倒进粗管，由于水的体积V一定，S₂=16S₁，则
S₁h₁=S₂h₂
h₂₌=×0.7m≈0.044m
设两边水银面的高度差为h′
两边水银面高度差产生的压强p'_水银等于倒入的水柱产生的压强p'_水
p'_水银=p'_水
ρ_水银gh'=ρ_水gh₂
h′===0.32×10^-2m=0.32cm
答：
（1）粗管中水银面上升0.32cm，细管中水银面下降4.8cm；
（2）如果将这些水倒入粗管内，细管中水银面比粗管中水银面高0.32cm．
点评：本题中的等量关系有两个：一是70cm水柱产生的压强与两管水银柱高度差产生的压强相等；二是细管中水银柱下降的高度与粗管中水银柱上升的高度之和等于两管水银柱的高度差．