Question

6．一只电动机，接在电压恒定的电源上．当被卡住不转时，测得此时电功率为P₁；正常转动时，测得电功率为P₂．试证明：若电动机转轴处的摩擦不计，电动机正常转动时的机械效率为η=$\frac{{P}_{1}-{P}_{2}}{{P}_{1}}$．

Answer 1

分析 设出电源的电压，当被卡住不转时电动机为纯电阻用电器，根据P=$\frac{{U}^{2}}{R}$表示出电动机的电阻；当电动机正常转动时，电动机为非纯电阻用电器，根据P=UI表示出电路中的电流，根据P=I²R表示出电动机电阻消耗电能的功率，电动机消耗的电功率减去电动机电阻消耗的电功率即为获得的机械功率，根据η=$\frac{{W}_{机械}}{{W}_{电}}$×100%得出答案．

解答 证明：设电源的电压为U，当被卡住不转时电动机为纯电阻用电器，
由P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得电动机的电阻R=$\frac{{U}^{2}}{{P}_{1}}$，
当电动机正常转动时，电动机为非纯电阻用电器，
由P=UI可得，电路中的电流：
I=$\frac{{P}_{2}}{U}$，
电动机电阻消耗电能的功率：
P_R=I²R=（$\frac{{P}_{2}}{U}$）²R=（$\frac{{P}_{2}}{U}$）²×$\frac{{U}^{2}}{{P}_{1}}$=$\frac{{{P}_{2}}^{2}}{{P}_{1}}$，
电动机正常转动时，获得的机械功率：
P_机械=P₂-P_R=P₂-$\frac{{{P}_{2}}^{2}}{{P}_{1}}$=$\frac{{P}_{2}（{P}_{1}-{P}_{2}）}{{P}_{1}}$，
电动机正常转动时的机械效率：
η=$\frac{{W}_{机械}}{{W}_{电}}$×100%=$\frac{{P}_{机械}t}{{P}_{电}t}$×100%=$\frac{{P}_{机械}}{{P}_{电}}$×100%=$\frac{\frac{{P}_{2}（{P}_{1}-{P}_{2}）}{{P}_{1}}}{{P}_{2}}$×100%=$\frac{{P}_{1}-{P}_{2}}{{P}_{1}}$×100%，
即η=$\frac{{P}_{1}-{P}_{2}}{{P}_{1}}$×100%．

点评 本题考查了电功率公式和电热功率公式、效率公式的应用，关键是知道电动机卡住时为纯电阻用电器、电动机正常转动时为非纯电阻用电器．