Question

9．如图所示，高为1.3m，底面积分别为0.15m²和0.05m²的甲、乙两个轻质薄壁圆柱形容器在下部用轻质细管连通后方在水平地面上，且容器内盛有1m深的水，若将一体积为0.04m³的实心小球慢慢地放到甲容器中的水里（注：细管内的水忽略不计，已知ρ_球=1×10³kg/m³，g=10N/kg），求：
（1）放入小球前水对甲容器底部的压强p_甲；
（2）球在水中静止时受到的浮力；
（3）球在水中静止时，甲乙整个容器对水平地面的压强；
（4）球在水中静止时，水对乙容器底部压力的增加量△F_乙．

Answer 1

分析 （1）已知水的深度和密度，利用p=ρgh计算水对甲容器底部的压强p_甲．
（2）首先比较小球和水的密度，得出小球在水中不动时的状态，根据悬浮条件即可求出浮力；
（3）求出容器里水的重力，根据小球排开水的体积，利用V=Sh求出水面上升的高度，与容器的高度比较得出水没有溢出，由此判断容器对地面的压力，利用p=$\frac{F}{S}$即可求出压强；
（4）由于得出水面上升的高度，再利用G=mg和ρ=$\frac{m}{V}$求出乙容器增加的水的重力，即可得到水对乙容器底部压力的增加量△F_乙．

解答 解：
（1）水对甲容器底部的压强：p_甲=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1m=1×10⁴Pa；
（2）因为ρ_球=ρ_水，
所以，若将一体积为0.04m³的实心小球慢慢地放到甲容器中的水里，小球在水中不动时处于悬浮状态，
则F_浮=G_球=ρ_球gV_球=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.04m³=400N；
（3）整个容器里水的重力为G_水=m_水g=ρ_水gV_水=ρ_水g（S_甲+S_乙）h_水=1.0×10³kg/m³×10N/kg×（0.15m²+0.05m²）×1m=200N；
由于小球在水中悬浮，则V_排=V=0.04m³，
所以，水面应升高的高度：△h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{甲}+{S}_{乙}}$=$\frac{0.04{m}^{3}}{0.15{m}^{2}+0.05{m}^{2}}$=0.2m，
此时水的深度h′=h+△h=1m+0.2m=1.2m＜1.3m，水没有溢出；
整个容器对地面的压力F=G=G_水+G_球=200N+400N=600N，
则p=$\frac{F}{S}$=$\frac{600N}{0.15{m}^{2}+0.05{m}^{2}}$=3000Pa；
（4）乙容器中增大的水的体积：△V_水=S_乙△h=0.05m²×0.2m=0.01m³，
根据G=mg和ρ=$\frac{m}{V}$可得，增加的水的重力：
△G=△mg=ρ_水△V_水g=1.0×10³kg/m³×0.01m³×10N/kg=100N，
因为乙容器为直壁容器，
所以，水对乙容器底部压力的增加量△F_乙=△G=100N．
答：（1）水对甲容器底部的压强p_甲为1×10⁴Pa；
（2）直到小球在水中不动为止，水对乙容器底部压力的增加量△F_乙为100N．

点评 此题考查液体压强计算、物体浮沉条件及其应用、重力和密度公式的应用等，是一道综合性较强的题目，难点在（4），关键是知道直壁型容器中液体对容器底的压力等于液体的重力．