Question

6．如图所示，圆柱体甲的质量为3.6千克，高为0.2米，密度为1.8×10³千克/米³．
①求甲的体积．
②求甲竖直放置时对水平桌面的压强．
③现有一薄壁圆柱形容器乙，质量为0.8千克．在容器乙中倒入某种液体，将甲竖直放入其中，并分别测出甲放入前后容器对水平桌面的压强p_容、液体对容器底部的压强p_液，如表所示．

	放入物体前	放入物体后
p容（帕）	1960	2940
p液（帕）	1568	1568

（a）求容器的底面积．
（b）求液体密度的最小值．

Answer 1

分析 ①知道甲的质量和密度，根据V=$\frac{m}{ρ}$求出甲的体积；
②水平面上物体的压力和自身的重力相等，根据G=mg、m=ρV、V=Sh和p=$\frac{F}{S}$求出甲竖直放置时对水平桌面的压强；
③（a）放入物体前，液体对容器底部的压力和液体的重力相等，容器对水平桌面的压力等于容器和液体的重力之和，根据p=$\frac{F}{S}$表示出两种情况下的压强，联立等式即可求出容器的底面积；
（b）由表格数据可知，放入物体前后液体对容器底部的压强不变，说明原来液体充满容器，甲放入前后容器对水平桌面的压强不同是由于甲的重力和排开液体重力不同造成的，根据压强公式得出等式然后分析得出答案．

解答 解：①由ρ=$\frac{m}{V}$可得，甲的体积：
V_甲=$\frac{{m}_{甲}}{{ρ}_{甲}}$=$\frac{3.6kg}{1.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=2×10^-3m³；
②因水平面上物体的压力和自身的重力相等，
所以，甲竖直放置时对水平桌面的压强：
p_甲=$\frac{{F}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{G}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{m}_{甲}g}{{S}_{甲}}$=$\frac{{ρ}_{甲}{V}_{甲}g}{{S}_{甲}}$=$\frac{{ρ}_{甲}{S}_{甲}{h}_{甲}g}{{S}_{甲}}$=ρ_甲gh_甲=1.8×10³kg/m³×9.8N/kg×0.2m=3528Pa；
③放入物体前，液体对容器底部的压强：
p_液前=$\frac{{F}_{液}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{液}}{{S}_{乙}}$----------①
容器乙对水平桌面的压强：
p_容前=$\frac{{F}_{容}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{液}+{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$-----②
由②-①可得：
p_容前-p_液前=$\frac{{G}_{液}+{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$-$\frac{{G}_{液}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{m}_{乙}g}{{S}_{乙}}$，
则S_乙=$\frac{{m}_{乙}g}{{p}_{容}-{p}_{液}}$=$\frac{0.8kg×9.8N/kg}{1960Pa-1568Pa}$=0.02m²；
（b）由表格数据可知，放入物体前后液体对容器底部的压强不变，
则原来液体充满容器，甲放入前后容器对水平桌面的压强不同是由于甲的重力和排开液体重力不同造成的，
所以，放入物体前后有：
△p=p_容后-p_容前=$\frac{△F}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{甲}-{G}_{排}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{m}_{甲}g-{ρ}_{液}g{V}_{排}}{{S}_{乙}}$，
整理可得：
ρ_液=$\frac{{m}_{甲}g-△p{S}_{乙}}{g{V}_{排}}$，
当V_排=V_甲时，液体的密度最小，
则ρ_液小=$\frac{{m}_{甲}g-△p{S}_{乙}}{g{V}_{甲}}$=$\frac{3.6kg×9.8N/kg-（2940Pa-1960Pa）×0.02{m}^{2}}{9.8N/kg×2×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=0.8×10³kg/m³．
答：①甲的体积为2×10^-3m³；
②甲竖直放置时对水平桌面的压强为3528Pa；
③（a）求容器的底面积为0.02m²；（b）液体密度的最小值为0.8×10³kg/m³．

点评 本题考查了密度公式、重力公式和压强公式的应用，分析好将甲竖直放入乙容器前后压强变化的原因是解题的关键．