Question

10．底面积为S₁和S₂的两柱形容器中分别盛有质量相等的水和酒精（ρ_水＞ρ_酒精），现将质量相等的甲、乙实心小球分别浸没在水和酒精中（液体不溢出）．已知两小球密度分别为ρ_甲和ρ_乙，以下条件中可能使水和酒精对容器底部压强相等的是（　　）

• A． S₁＜S₂  ρ_甲=ρ_乙
• B． S₁=S₂  ρ_甲＜ρ_乙
• C． S₁=S₂  ρ_甲=ρ_乙
• D． S₁＞S₂  ρ_甲＞ρ_乙

Answer 1

分析 （1）先根据容器底面积关系和液体质量相等利用p=$\frac{F}{S}$判断在没有放小球之前，水和酒精对容器底部的压强，
根据题意水和酒精对容器底部压强相等判断出增加的压力，再结合浮力公式得出两小球的体积关系，进而知道密度关系；
（2）先结合选项中两个容器底面积的关系，根据水和酒精的质量相同得出没有放小球之前，水和酒精的高度关系，
然后根据容器底受到的压强相等比较液体高度的关系和排开液体体积的关系，从而得出两球密度关系即可判断出正确的选项．

解答 解：A、当两个容器的底面积S₁＜S₂时，水和酒精的质量相同，
根据柱形容器底面受到的压力等于液体自身的重力可知，水和酒精对容器底的压力相等，
在没有放小球之前，由p=$\frac{F}{S}$可得，水对容器底部压强大于酒精对容器底部的压强，
两个小球的质量相同，当ρ_甲=ρ_乙时，根据ρ=$\frac{m}{V}$可知，V_甲=V_乙，
又因为小球均浸没在液体中，所以排开液体的体积V_排相同，
根据$△h=\frac{{V}_{排}}{{S}_{容}}$可知，S₁ 小，则水面升高的高度大，水增加的压强大，
即放入后水的压强比酒精的压强大，故A不符合题意；
B、当两个容器的底面积S₁=S₂，水和酒精的质量相同，水和酒精对容器底的压力相等，
在没有放小球之前，由p=$\frac{F}{S}$可得，水对容器底部压强等于酒精对容器底部的压强，
两个小球的质量相同，当ρ_甲＜ρ_乙时，根据ρ=$\frac{m}{V}$可知，V_甲＞V_乙，
又因为小球均浸没在液体中，所以甲球排开水的体积较大，
根据$△h=\frac{{V}_{排}}{{S}_{容}}$可知，则水面升高的高度大，水增加的压强大，
即放入后水的压强比酒精的压强大，故B不符合题意；
C、当S₁=S₂，ρ_甲=ρ_乙，与B项同理，水对容器底部压强等于酒精对容器底部的压强，
两个小球的质量相同，当ρ_甲=ρ_乙时，根据ρ=$\frac{m}{V}$可知，V_甲=V_乙，
又因为小球均浸没在液体中，所以它们排开液体的体积相同，
根据$△h=\frac{{V}_{排}}{{S}_{容}}$可知，则液面升高的高度相同；
由于水的密度大于酒精，根据△p=ρ_液g△h可知，水增加的压强大，
即放入后水的压强比酒精的压强大，故C不符合题意；
D、当两个容器的底面积S₁＞S₂，水和酒精的质量相同，水和酒精对容器底部压力相等，
在没有放小球之前，由p=$\frac{F}{S}$可得，水对容器底部压强小于酒精对容器底部的压强，
小球浸没时，要使水和酒精对容器底部压强相等，由于S₁大，根据F=pS可知，此时水对容器底的压力较大，则水对容器底增加的压力大于酒精对容器底部增加的压力，即：△F_水＞△F_酒，
又因为容器底部增加的压力等于小球受到的浮力，即△F_水=F_浮甲，△F_酒=F_浮乙，
所以F_浮甲＞F_浮乙，即：ρ_水gV_甲＞ρ_酒精gV_乙，
又因为ρ_水＞ρ_酒精，所以体积关系可能为：V_甲＜V_乙，或V_甲=V_乙，或V_甲＞V_乙，
小球的质量相同，根据ρ=$\frac{m}{V}$可知，当V_甲＜V_乙，ρ_甲＞ρ_乙；
当V_甲=V_乙，ρ_甲=ρ_乙；
当V_甲＞V_乙，ρ_甲＜ρ_乙，故D符合题意．
故选：D．

点评 本题主要学生对密度公式、液体压强的计算公式及浮力的计算公式的掌握和应用，难点是通过分析质量、深度的大小，找到体积的大小关系，关键要知道柱形容器底部受到的压力等于液体自身的重力，有一定的难度．