Question

4．如图所示，将边长为10cm的密度均匀的正方体木块平放在圆柱形容器的底部，圆柱形容器的很横截面积为180cm²，此时正方体木块对圆柱形容器的底部的压强是800Pa．（容器足够高）
（1）求木块的密度ρ_木．
（2）缓慢地往容器中注入730g水后，求木块对容器底部的压强和木块所受的浮力．
（3）求出此时容器中水面的高度．

Answer 1

分析 （1）设正方体木块的边长为L，圆柱形容器的横截面积为S，根据此时正方体木块对圆柱形容器的底部的压强是800Pa，可求出正方体木块对圆柱形容器的底部的压力，此时压力即为其重力，再根据G=mg可得出其质量，再利用ρ=$\frac{m}{V}$可求得木块的密度．
（2）假设木块与容器底接触且受力，利用密度公式求出排开水的质量，然后与注入水的质量比较，判断木块在水中的状态，然后计算木块对容器底部的压强和木块所受的浮力．
（3）根据F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水Sgh′求出木块浸入水中的深度，进而求出注入730g水后水面上升的高度，最后求出此时容器中水面的高度．

解答 解：（1）设正方体木块的边长为L，因此时正方体木块对圆柱形容器的底部的压强是800N/m²．圆柱形容器的横截面积为S．
所以由p=$\frac{F}{S}$=$\frac{F}{{L}^{2}}$，可得F=pL²=800N/m²×100×10^-4m²=8N，
则G=F=8N，m_木=$\frac{G}{g}$=$\frac{8N}{10N/kg}$=0.8kg．
ρ_木=$\frac{{m}_{木}}{{L}^{3}}$=$\frac{0.8kg}{1{0}^{-3}{m}^{3}}$=0.8×10³ kg/m³．
（2）假设木块与容器底接触且受力，
根据ρ=$\frac{m}{V}$可得，水的体积V'=$\frac{{m}_{水}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{730g}{1g/c{m}^{3}}$=730cm³，
水与容器接触面积S'=180cm²-（10cm）²=80cm²，
水高度h=$\frac{V′}{S′}$=$\frac{730c{m}^{3}}{80c{m}^{2}}$=9.125cm＜10cm，
排水体积V''=100cm²×9.125cm=912.5cm³，
排水质量M'=ρ_水V''=1g/cm³×912.5cm³=912.5g＞m_水，假设不成立，
所以木块漂浮，对容器底部压强为0，木块受到浮力等于重力，浮力F=8N；
（3）因为F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水Sgh′，
所以，h'=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}Sg}$=$\frac{8N}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×（0.1m）^{2}×10N/kg}$=0.08m=8cm，
此部分水体积V₁=80cm²×8cm=640cm³，
剩余水体积V₂=730cm³-640cm³=90cm³，
高度h''=$\frac{{V}_{2}}{{S}_{容}}$=$\frac{90c{m}^{3}}{180c{m}^{2}}$=0.5cm，
容器水面高度H=h'+h''=8cm+0.5cm=8.5cm．
答：（1）木块的密度ρ_木是0.8×10³ kg/m³．
（2）缓慢地往容器中注入730g水后，木块对容器底部的压强为0Pa；木块所受的浮力为8N．
（3）此时容器中水面的高度为8.5cm．

点评 此题考查压强和浮力的计算，同时考查重力、密度公式的应用、阿基米德原理和物体浮沉条件及其应用，是一道综合性很强的题目，也是一道难度很大的题目，特别是（2）需要用极端假设法求解．