Question

一个内部含有石块的冰块放在密度为ρ₀=0.95×10³kg/m³的液体中恰好能悬浮．一个底面积为S=100cm²的圆柱形容器中装有水，将这个含有石块的冰块放入水中后，容器中的水面较原来升高了h₁=2.09cm．待冰熔化后，水面又下降了h₂=0.1cm．求冰块内石块的密度为多少（冰的密度为0.9×10³kg/m³）？

Answer 1

解：设总体积为V，石块的体积为V_石，冰的体积为V-V_石，
∵含有石块的冰块悬浮，
∴含有石块的冰块的密度
ρ=ρ₀=0.95×10³kg/m³，
即：=0.95×10³kg/m³，-----①
∵ρ=ρ₀=0.95×10³kg/m³＜ρ_水，
∴放入水中将漂浮，排开水的体积V_排=sh₁=100cm²×2.09cm=209cm³，
∴含有石块的冰块重：
G=F_浮=ρ_水V_排g=1×10³kg/m³×209×10^-6m³×10N/kg=2.09N，
含有石块的冰块的质量：
m===0.209kg=209g，
代入①得：
V===220cm³，
冰熔化前受到的浮力：
F_浮=G_冰+G_石=G_冰+ρ_石V_石g=2.09N，
冰熔化后受到的浮力：
F_浮′=G_水+ρ_水V_石g，
∵冰化水，质量不变、重力不变，
∴G_冰=G_水，
∴△F_浮=F_浮-F_浮′=G_冰+ρ_石V_石g-G_水-ρ_水V_石g=ρ_石V_石g-ρ_水V_石g，
∵△F_浮=ρ_水sh₂g=1×10³kg/m³×100×0.1×10^-6m³×10N/kg=0.1N，
∴ρ_石V_石g-ρ_水V_石g=0.1N，
ρ_石V_石-ρ_水V_石=10g，------------②
而ρ_石V_石g+ρ_冰（V-V_石）g=2.09N，
ρ_石V_石+ρ_冰（V-V_石）=209g，------③
③-②得：
ρ_冰（V-V_石）+ρ_水V_石=199g，
0.9g/cm³×（220cm³-V_石）+1g/cm³×V_石=199g，
解得：V_石=10cm³，
代入②得：
ρ_石V_石-ρ_水V_石=10g，
∴ρ_石==2g/cm³．
答：冰块内石块的密度为2g/cm³．
分析：在密度为ρ₀的液体中悬浮，说明ρ₀=ρ_混（ρ_混为含有石块的冰块密度），放入水中后，因为ρ_水＞ρ₀，所以ρ_水＞ρ_混，放入水中后漂浮．分析浮冰在水中的变化是该题的难点，根据F_浮=G，求出含有石块的冰块重，从而可知其质量，冰溶化后石块沉入水底，出现了一个支持力，说明在冰溶化成水的过程中浮力减小了，V_排减小了，这是水面下降的主要原因，再根据冰熔化前后受到的浮力和冰化水，质量不变、重力不变，求得V_石，再根据ρ_石V_石-ρ_水V_石=10g，即可求得冰块内石块的密度．
点评：在做浮冰类习题时应注意：当冰内有密度大于水的异物时，冰溶化后液面会下降，但情景不同引起液面下降的原因不同，因此做这类题目时要仔细审题再对症下药．此题是一道压轴题．