Question

6．一个竖直放置在水平桌面上的圆柱形容器，内装密度为ρ的液体．将挂在弹簧测力计下的金属块A浸没在该液体中（A与容器底未接触），金属块A静止时，弹簧测力计的示数为F，如图甲所示；将木块B放入该液体中，静止后木块B露出液面的体积与其总体积之比为2：5，把金属块A放在木块B上面，木块B刚好没入液体中，如图乙所示．若已知金属块A的体积与木块B的体积之比为4：15，则金属块A与木块B的密度之比为5：2，金属块A的体积为$\frac{2F}{ρg}$．

Answer 1

分析 （1）先后分析将将木块B放入该液体中，露出水面的体积与总体积之比为2：5，即浸在液体中的体积与总体积之比为：3：5；
把金属块A放在木块B上面，木块B刚好没入液体中，木块所受浮力等于木块与铁块所受重力之和；
若已知金属块A的体积与木块B的体积比为4：15，即：V_A：V_B=4：15；
把综上分析列出的方程组成方程组可求金属块A的密度和金属块与木块的密度之比．
（2）利用称重法表示出物体A浸没在该液体中时的浮力即可求出金属块A的体积．

解答 解：（1）将木块B放入该液体中，木块漂浮，则F_B浮=G_B=m_Bg=ρ_BV_Bg，
静止后木块B露出液面的体积与其总体积之比为2：5，即：V_排：V_B=3：5，故：V_排=$\frac{3}{5}$V_B；
根据阿基米德原理得：F_B浮=ρV_排g=ρ$\frac{3}{5}$V_Bg，
结合以上两式得：ρ_BV_Bg=ρ$\frac{3}{5}$V_Bg，
所以，ρ_B=$\frac{3}{5}$ρ---------①
把金属块A放在木块B上，木块仍漂浮，此时排开液体的体积等于木块B的体积：V_排′=V_B；
根据漂浮条件得：F_B浮′=G_A+G_B，
根据阿基米德原理得：F_B浮′=ρV_排′g=ρV_Bg，
所以ρV_Bg=G_A+G_B，
即：ρgV_B=ρ_AgV_A+ρ_BgV_B ------------②
金属块A的体积与木块B的体积比：V_A：V_B=4：15----------③
结合①②③式得出：ρgV_B=ρ_Ag$\frac{4}{15}$V_B+$\frac{3}{5}$ρgV_B；
所以，ρ_A=$\frac{3}{2}$ρ；
故ρ_A：ρ_B=$\frac{3}{2}$ρ：$\frac{3}{5}$ρ=5：2．
（2）金属块A挂在弹簧测力计下并浸没在该液体中静止时，弹簧测力计的示数为F，
根据称重法可得：F_浮A=G_A-F，
即：ρgV_A=ρ_AV_Ag-F=$\frac{3}{2}$ρgV_A-F，
解得：V_A=$\frac{2F}{ρg}$．
故答案为：5：2；$\frac{2F}{ρg}$．

点评 本题考查了密度的计算，涉及到阿基米德原理、物体浮沉条件和重力公式，根据浮沉条件得出AB密度和液体密度之间的关系是关键．