Question

14．如图所示，有n块密度均匀、完全相同的砖，长为L，采用如图的方法叠放在水平桌面上，使每一个砖压着下面的砖并伸出一部分，为使得砖块整体伸出桌面长度最大，则从上到下第2块砖在第3块砖上能伸出的长度为$\frac{1}{4}$；第n块砖伸出桌面的长度为$\frac{1}{2n}$．

Answer 1

分析 （1）质量分布均匀、形状规则的物体重心在其几何中心，据此确定砖的重心位置；
（2）砖块可以看做杠杆，由杠杆平衡条件知：只要上面的砖重心不超出支点之外，砖就可平衡，
（3）从上向下分析，求出各砖能伸出的最大长度．

解答 解：
设一块砖的长度为L，砖质量分布均匀，形状规则，其重心在其几何中心；
（1）第1块砖的重心在距砖的右端$\frac{L}{2}$处，如图所示，第1块砖放在第2块砖上面，第2块砖的右端是第1块砖的支点，当第1块砖伸出的长度为$\frac{1}{2}$时，砖的重心恰好在支点上，第1块砖恰能平衡，如果砖伸出的长度大于$\frac{L}{2}$，砖将翻倒，不会平衡，因此第1块砖伸出的最大长度是砖长的$\frac{1}{2}$；
（2）第1与第2块砖组成的整体重心在它们的几何中心，第3块砖的右端是它们的支点，它们重心距第1块砖最右端的距离是$\frac{3L}{4}$，如图所示，第1与第2块砖组成的整体重心距支点的距离为$\frac{3L}{4}$-$\frac{L}{2}$=$\frac{L}{4}$，则第2块砖伸出的最大长度是砖长的$\frac{1}{4}$；
（3）第1、2、3三块砖组成的整体重心位置距第1块砖的距离是$\frac{11L}{12}$，如图所示，第4块砖的右端是上面3块砖的支点，第1、2、3块砖的重心距它们支点的距离是$\frac{11L}{12}$-$\frac{3L}{4}$=$\frac{1L}{6}$，所以第3块砖伸出的最大长度是砖长的$\frac{1}{6}$；
（4）因此可得，第n块砖伸出的最大长度是砖长的$\frac{1}{2n}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{2n}$．

点评 本题考查了确定物体伸出的最大长度问题，难度较大，是一道难题；恰当地选择研究对象、确定研究对象的重心，是正确解题的关键．