Question

为了迎接黄石市第二届矿冶文化节和第三届国际乒乓节，某庆典公司正在调试载人热气球．已知载人热气球球内热气的体积为200m³，球内热气的密度为0.29kg/m³，球外空气的密度为1.29kg/m³，球壳、吊篮及其装备的总质量为120kg，吊篮里的人的质量为58kg，g取10N/kg。
（1）要使热气球和人能够静止在空中，需要在吊篮里加入多少质量的配重？（由于热气的体积远大于其他部分的体积，故只考虑热气所受的浮力）。
（2）若气球静止于离地h=10m的空中，人需要沿着绳子下滑到地面．如果人以相对地的速度v₁=2m/s匀速下滑，根据反冲运动知识可知，人在下滑过程中，气球会以v₂的速度上升，设人的质量为m，气球的总质量（包括热空气、球壳、吊篮以及装备和配重）为M，则他们的关系满足mv₁=Mv₂，若在人着陆时，绳子的末端刚好接触地面，求绳子的长度。
（3）气球在上浮的过程中，空气的浮力是否对气球做了功？如果没有做功，请说明理由。如果做了功，求浮力做功的功率。

Answer 1

解： （1）∵  热气球和人静止在空中，
∴F_浮=G_气+G_人+G_吊篮+G_配重，
∴ G_配重=F_浮﹣（G_气+G_人+G_吊篮）=ρ_空气Vg﹣（ρ_热气Vg+58kg×10N/kg+120kg×10N/kg）=1.29kg/m³×200m³×10N/kg﹣（0.29kg/m³×200m³×10N/kg+58kg×10N/kg+120kg×10N/kg）=220N，
m_配重===22kg；
（2）∵ Mg=G_气+G_吊篮+G_配重，
即：M×10N/kg=0.29kg/m³×200m³×10N/kg+120kg×10N/kg+220N，
∴ M=200kg
由mv₁=Mv₂
得v₂=0.58m/s，
t===5s，
气球上浮的距离s=v₂t=0.58m/s×5s=2.9m，
绳长L=h+s=10m+2.9m=12.9m；
（3）气球在浮力的方向上移动了距离，浮力做了功，
F_浮=ρ_空气Vg=1.29kg/m³×200m³×10N/kg=2580N，
P=F_浮v₂=2580N×0.58mm/s=1496.4W