宋朝的怀丙用如图所示的方法打捞落入水底的铁牛:把一根圆木绑在两只装着沙土的打捞船上.请人潜到水底.用绳索捆牢铁牛.将绳刚好拉直.并将绳索的另一端捆在两船间的圆木上．然后.把船上的沙土卸走.铁牛就被拉起．假设铁牛由某种密度为ρ=8×103kg/m3的铁合金制成.质量为4.8t.沉入湖水静止的湖底.铁牛的底部与湖底不密合．每只打捞船的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2013?海淀区一模）宋朝的怀丙用如图所示的方法打捞落入水底的铁牛：把一根圆木绑在两只装着沙土的打捞船上，请人潜到水底，用绳索捆牢铁牛，将绳刚好拉直，并将绳索的另一端捆在两船间的圆木上．然后，把船上的沙土卸走，铁牛就被拉起．假设铁牛由某种密度为ρ=8×10³kg/m³的铁合金制成，质量为4.8t，沉入湖水静止的湖底，铁牛的底部与湖底不密合．每只打捞船的质量为1.15t，每只船上各站着2名质量为50kg的工人，船内装有等质量的沙土，圆木的质量为100kg．两只船浸入水中的深度相同，每只船浸入水中的深度与船排开水的体积关系如下表所示．忽略绳索质量，湖的面积很大．如果将船中沙土全部卸光后，能使铁牛的底部提升至距离湖底20cm的高度，最初船离岸时每只船内应装沙土的质量为

4.3×10³

kg．（g取10N/kg）

船浸入水中的深度h/m	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6
排水体积V/m³	0.7	1.5	2.4	3.4	4.5	5.6

分析：已知铁牛的体积，根据公式F_浮=ρ_水gV可求铁牛刚刚全部露出淤泥时受到的浮力；
因为铁牛露出淤泥提起时，两只船和铁牛受到的浮力等于两只船和圆木的重力与铁牛的重力之和，但在未打捞铁牛到被拉起过程中，两只船受到的浮力不变，
为能使铁牛的底部提升至距离湖底20cm的高度，两只船受到的浮力需要再打捞前将船浸入水中的深度增加；
据此分析即可船内应装的沙土重力．

解答：解：已知铁牛密度为ρ_铁=8×10³kg/m³的铁合金制成，质量m_铁=4.8t=4800kg，
则铁牛的体积为V_铁=

m铁

ρ铁

4800kg

8×103kg/m3

=0.6m³，
铁牛受到的浮力为：F_浮铁=ρ_水gV_铁=1×10³kg/m³×10N/kg×0.6m³=6×10³N，
∵铁牛露出淤泥时，两只船和铁牛受到的浮力等于两只船、人和圆木的重力与铁牛的重力之和，
即：F_浮+F_浮铁=G_船+G_人+G_木+G_铁
未打捞铁牛时，两只船受到的浮力等于两只船、圆木、人和沙子的总重力；
即：F_浮=G_船+G_人+G_木+G_沙子
∵在未打捞铁牛到被拉起过程中，两只船受到的浮力不变，
∴G_船+G_人+G_木+G_沙子+F_浮铁=G_船+G_人+G_木+G_铁
所以，G_沙子=G_铁-F_浮铁=m_铁g-F_浮铁=4800kg×10N/kg-6×10³N=4.2×10⁴N，
这时，为打捞铁牛而使两船应受到的浮力为：
F_浮=G_船+G_人+G_木+G_沙子=2×1.15×10³kg×10N/kg+2×2×50kg×10N/kg+100kg×10N/kg+4.2×10⁴N=6.8×10⁴N，
则两船排开的水的体积为：
V_排=

F浮

ρ水g

6.8×104N

1×103kg/m3×10N/kg

=6.8m³．
所以每只船排开水的体积为：

V_排=

×6.8m³=3.4m³，
根据每只船浸入水中的深度与船排开水的体积的关系表可知：
每只船浸入水中的深度为0.4m；
由题干知：再使铁牛的底部提升至距离湖底20cm的高度，则每只船在未打捞铁牛时浸入水中的深度需要再增加20cm，
所以根据每只船浸入水中的深度与船排开水的体积的关系表可知：
每只船排开水的体积为：V_排′=5.6m³，
则两船应受到的浮力为：F_浮′=2ρ_水gV_排′=2×1×10³kg/m³×10N/kg×5.6m³=1.12×10⁵N，
∵F_浮′=G_船+G_人+G_木+G_沙子′，
∴G_沙子′=F_浮′-G_船+G_人+G_木=1.12×10⁵N-2×1.15×10³kg×10N/kg+2×2×50kg×10N/kg+100kg×10N/kg=8.6×10⁴N，
所以m_沙′=

G沙子′

8.6×104N

10N/kg

=8.6×10³kg，
则每只船内应装沙土的质量为

m_沙′=

×8.6×10³kg=4.3×10³kg．
故答案为：4.3×10³．

点评：本题考查了学生对阿基米德原理和物体浮沉条件的掌握和运用，确定在未打捞铁牛到被拉起过程中，两只船受到的浮力不变是解答本题的关键，同时难点是正确理解使铁牛的底部提升至距离湖底20cm的高度，每只船在未打捞铁牛前浸入水中的深度需要再增加20cm，这样才能将船中沙土全部卸光后，再使铁牛的底部提升一定的高度．

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