Question

如图所示电路，设电源电压不变．当只闭合开关S₁时，电流表的示数是I₁；当只闭合开关S₂时，电流表的示数是I₂；已知I₁：I₂=2：1．当通过控制开关S₁和S₂，使电路消耗的最大功率和最小功率分别为P_总和P_总′，已知电路消耗的总功率达到最小时，电压表V₁、V₂的示数之比为2：1，电阻R₂消耗的电功率P₂′为2W，求：
（1）电阻R₁与R₂之比；
（2）电路消耗的最大功率P_总；
（3）在2s内电路消耗的总功率分别达到最小和最大时，产生的热量Q_总′与Q_总之比．

Answer 1

分析：（1）当只闭合开关S₁时，电路为R₂的简单电路；当只闭合开关S₂时，电路为R₃的简单电路，根据电源电压不变和欧姆定律求出R₂、R₃电阻之间的关系；根据P=

U2

R

可知当开关都断开时，三个电阻串联时，电路消耗的总功率最小，电压表V₂测R₁两端的电压，A₁测电源的电压，根据串联电路电阻的分压特点，求出电阻R₁与R₂之比；
（2）由以上可知三电阻的比值大小，根据P=I²R可知电路消耗的总功率最小时，三个电阻的电功率之比，从而求出此时电路消耗的总功率，进一步求出电路消耗的最大功率；
（3）由P=

U2

R

可知，当三个电阻并联时，电路消耗的总功率最大，根据三个电阻的阻值之比求出电功率之比，进一步求出各电阻此时消耗的电功率，最后根据Q=W=Pt求出在2s内电路消耗的总功率分别达到最小和最大时，产生的热量Q_总′与Q_总之比．

解答：解：根据题意分别画出相应的电路图如图所示：

（1）当只闭合开关S₁时，电路为R₂的简单电路；当只闭合开关S₂时，电路为R₃的简单电路，
由图A、B有 

I1

I2

=

R3

R2

=

2

1

∴R₃=2R₂
三个电阻串联时，电路消耗的总功率最小，
由图D有

U1

U2

=

R3+R2 +R1

R1

=

2

1

∴

R1

R2

=

3

1

；                                
（2）电路消耗的总功率最小时，
由图D得：R₁：R₂：R₃=3：1：2，
∴P₁′：P₂′：P₃′=3：1：2
∴P₁′=3P₂′=3×2W=6W，
P₃′=2P₂′=2×2W=4W，
P_总′=P₁′+P₂′+P₃′=6W+2W+4W=12W；
由图C得：并联
∴P₁：P₂：P₃=2：6：3，
由P=

U2

R

得：
P₂=36P₂′=36×2W=72W
∴P₁=24W，P₃=36W，
P_总=P₁+P₂+P₃=24W+72W+36W=132W；
（3）消耗的总功率分别达到最小和最大时，产生的热量Q_总′与Q_总之比为：

Q ′ 总

Q总

=

P ′ 总 t

P总t

=

12

132

=

1

11

．
答：（1）电阻R₁与R₂之比为3：1；
（2）电路消耗的最大功率为132W；
（3）在2s内电路消耗的总功率分别达到最小和最大时产生的热量之比为1：11．

点评：本题考查电功率的计算，电阻的串联，电阻并联，欧姆定律的应用，关键是判断各种情况下电路的连接情况．