Question

6．在如图所示的分压电路中，电压U恒定不变，滑动变阻器的总电阻值R=100Ω，要求滑动触头P在上下移动的过程中，负载R_L上的电压U_L始终不低于空载（即不接R_L，相当于此处断开）时输出电压的90%，那么R_L的最小值是225Ω

Answer 1

分析 如图所示：负载R_L的两端ab空载时，a、b间电压和R₁的电压相等，根据串联分压特点求出此时a、b间的电压；ab两端接负截R_L时的输出电压不得低于空载时电压的90%，据此表示出此时a、b间的电压，利用串联分压公式求出并联电阻的不等式，利用电阻的并联特点求出R_L的允许值范围．

解答 解：设滑动变阻器触头P下部分的电阻值为R₁，由图可知：负载ab两端的输出电压就等于R₁两端的电压；
当空载时电路中的电流I=$\frac{U}{R}$，则根据欧姆定律可知输出电压：U_空载=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{\;}}$U；
当接负载时，R₁与R_L并联，
根据并联电路的总电阻的倒数等于各支路电阻的倒数之和得：
R_并=$\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}$，
则根据串联电路的总电阻等于各电阻之和得：
R_总=R-R₁+R_并=R-R₁+$\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}$，
则此时干路电流I=$\frac{U}{R-{R}_{1}+\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}}$，
所以根据欧姆定律可知负载上的输出电压U_负载=IR_总=$\frac{U}{R-{R}_{1}+\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}}$×$\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}$，
由于负载R_L上的电压U_L始终不低于空载（即不接R_L，相当于此处断开）时输出电压的90%，
即U_负载≥90%U_空载；
所以，$\frac{U}{R-{R}_{1}+\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}}$×$\frac{{R}_{1}{R}_{L}}{{R}_{1}+{R}_{L}}$≥90%×$\frac{{R}_{1}}{{R}_{\;}}$U；
整理得：9（R-R₁）（R₁+R_L）+9R₁R_L-10R_LR≤0，
带入数据得：9（100Ω-R₁）（R₁+R_L）+9R₁R_L-10R_L×100Ω≤0；
所以，9R₁²-900R₁+100R_L≥0；
为保证在实数范围内有解，则对于上式中的其根判别式△≥0，
即：900²-3600R_L≥0；
解得：R_L≥225Ω；
所以，R_L的最小值是225Ω．
故答案为：225．

点评 本题考查了串联电路的电阻分压特点和并联电路电阻特点，以及欧姆定律的应用，关键是分清电路的串并联，接负截R_f时的输出电压不得低于空载时电压的90%这一条件．关键是会运用了一元二次方程的知识判断最大值．