Question

（2011?朝阳区二模）如图甲所示，装有部分水的试管竖直漂浮在容器内的水面上，试管内水面与容器底部的距离为h，试管壁粗细均匀、厚度不计；现将一物块完全浸没在该试管水中，发现试管内水面与容器底部的距离恰好仍为h，如图乙所示，若试管横截面积与容器横截面积之比为1：5，则下列说法正确的是（　　）

A．放入的物块密度为5×10³kg/m³

B．放入的物块密度为1.25×10³kg/m³

C．放入的物块密度为2.25×10³kg/m³

D．小试管与容器内水面变化的高度相等

Answer 1

分析：1、根据试管内外液面的几何关系：试管内液面上升的高度、试管底面下降的高度、容器液面上升的高度间的关系分析．
2、根据试管下降增加的排开水的体积等于容器内水上升增加的体积及试管横截面积与容器横截面积之比为1：5，求出：试管中液体上升的高度H₀、试管底部应再下沉的深度H₁、因试管下沉容器液面上升的高度H₂间关系．
3、根据物块完全浸没在该试管水中，重新排开的水重等于新加入的物体重力，可求出物体的密度．

解答：解：设试管底面积为S₁，容器底面积S₂，物块完全浸没在该试管水中后，试管中液体上升的高度是H₀，试管底部应再下沉的深度H₁，因试管下沉容器液面上升的高度H₂，
试管内物块体积V_物=S₁H₀
G_物=ρ_物gV_物=ρ_物gS₁H₀
试管增加的浮力F_浮=ρ_水gS₁（H₁+H₂） 
容器底部增加的压力F_压=ρ_水gS₂H₂
因为试管放入物块后，试管处于漂浮状态
所以：放入物块的重量G_物=试管增加的浮力F_浮=容器底部增加的压力F_压
ρ_物gS₁H₀=ρ_水gS₁（H₁+H₂）=ρ_水gS₂H₂
依题意有S₂=5S₁，代入ρ_水gS₁（H₁+H₂）=ρ_水gS₂H₂，得H₁=4H₂，H₂=0.25H₁
因试管内水面与容器底部的距离都为h，所以H₀=H₁
ρ_物gS₁H₀=ρ_物gS₁H₁=ρ_水gS₁（H₁+H₂）=ρ_水gS₁（H₁+0.25H₁）
则ρ_物=1.25ρ_水=1.25×10³kg/m³． 
故选B．

点评：解本题的关键是求出物块浸入试管后，试管内液面与容器底部距离与试管内液面上升的高度、试管底下降的高度、容器内液面上升的高度间的关系．