Question

【题目】小明的父亲为了解决全家人夏季淋浴问题，想自己动手制作一个太阳能淋浴器。他买来了一个圆柱形金属桶，一个压力传感开关，两个圆柱体以及细线若干。初步设计如图所示其中A、B两个圆柱体通过细绳与压力传感开关相连。已知：圆柱形金属桶的底面积S1＝0.5m2，高h1＝50cm；压力传感开关的作用是当它受到竖直向下的拉力达到10N时闭合，通过控制水泵从进水口向桶内注水，当拉力等于4N时断开，水泵停止向桶内注水；两个圆柱体的底面积

S2＝40cm2，高h2＝12cm，每个圆柱体重G＝6N．要求当水桶内储水量达200L时停止注水，当储水量剩余40L时开始注水。请你帮助小明的父亲在其初步设计的基础上，求出（压力传感开关与金属桶间的距离、细绳质量与体积、计算储水量时圆柱体排水体积忽略不计）；

（1）当压力传感开关与圆柱体A之间细绳上拉力等于10N时，进水口开始向桶内注水，此时两圆柱体受到的浮力为多大？

（2）当水泵刚好停止向桶内注水时，圆柱A浸入水中的深度为多大？

（3）满足上述要求的圆柱体A、B之间细线的长度？

Answer 1

【答案】（1）2N；（2）0.08m；（3）17cm。

【解析】

（1）根据二力平衡条件可以求出当停止注水和开始注水时，AB受到的浮力；

（2）根据公式F浮＝ρgV排求出AB排开水的体积，进一步求出AB浸入水中的深度，然后可求圆柱A浸入水中的深度；

（3）利用阿基米德原理求圆柱体排开水的体积，

进而求出圆柱体浸入水中深度为水面2与圆柱体下表面7之间的深度，此时桶内水面处于右图位置2处，桶内水的体积V3＝40L，

根据h3＝得出水面2与桶底3之间的深度，可求圆柱体下表面7与桶底3之间的深度h7、圆柱体B露出水面深度为9与2之间的长度h9；

压力传感开关受到竖直向下的拉力达到4N时闭合，通过控制水泵从进水口向桶内注水。由于压力传感开关受到竖直向下的拉力等于圆柱体重减去受到的浮力，可求圆柱体受到的浮力，利用阿基米德原理求圆柱体排开水的体积，

进而求出圆柱体浸入水中深度为水面2与圆柱体下表面7之间的深度、圆柱体露出水面深度为圆柱体顶端8与水面1之间的长度h5，圆柱体A浸入水中的深度为4到5间的深度h8，此时桶内水面处于如图的位置1处，桶内水的容积为V4＝200L，根据h4＝得出水面1与桶底3之间的深度，进而求出圆柱体下表面7与桶底3之间的深度h7、圆柱体B露出水面深度为9与2之间的长度h9，水面1到桶底6之间的长度h6，

最后求出，圆柱体A顶端到桶底的距离就是拴在圆柱体A上绳子长度L1＝h6﹣h5，也就是图中5与9之间的高度；

圆柱体A、B之间的绳子长度L2＝h4﹣h浸2﹣h7。

（1）当开始注水时，AB受到的浮力F浮1＝GA+GB﹣F1＝6N+6N﹣10N＝2N；

（2）停止注水时，AB受到的浮力为F浮2＝GA+GB﹣F2＝6N+6N﹣4N＝8N；

由F浮＝ρgV排可得，

此时排开水的体积为V排2＝=＝8×10﹣4m3；

浸入水中的深度为h＝＝=0.2m；

所以A浸入的深度为hA＝h﹣h2＝0.2m﹣0.12m＝0.08m；

（3）圆柱体排开水的体积：V排1＝=＝2×10﹣4m3＝200cm3，

圆柱体浸入水中深度为水面2与圆柱体下表面7之间的深度：

h浸1＝＝＝0.05m＝5cm，

此时桶内水面处于右图位置2处，桶内水的体积V3＝40L，

根据h3＝＝＝0.08m＝8cm得出水面2与桶底3之间的深度为8cm，

圆柱体下表面7与桶底3之间的深度h7＝h3﹣h浸1＝8cm﹣5cm＝3cm，

圆柱体B露出水面深度为9与2之间的长度h9＝h2﹣h浸1＝12cm﹣5cm＝7cm；

圆柱体排开水的体积：V排2＝=＝8×10﹣4m3＝800cm3，

圆柱体浸入水中深度为水面2与圆柱体下表面7之间的深度：

h浸2＝＝＝20cm，

圆柱体露出水面深度为圆柱体顶端8与水面1之间的长度h5＝2h2﹣h浸2＝2×12cm﹣20cm＝4cm，圆柱体A浸入水中的深度为4到5间的深度h8＝h2﹣h5＝12cm﹣4cm＝8cm，此时桶内水面处于如图的位置1处，桶内水的容积为V4＝200L，根据h4＝＝＝0.4m＝40cm，

得出水面1与桶底3之间的深度为40cm，

圆柱体下表面7与桶底3之间的深度h7＝h3﹣h浸1＝8cm﹣5cm＝3cm，

圆柱体B露出水面深度为9与2之间的长度h9＝h2﹣h浸1＝12cm﹣5cm＝7cm；

水面1到桶底6之间的长度h6＝h1﹣h4＝50cm﹣40cm＝10cm，圆柱体A顶端到桶底的距离就是拴在圆柱体A上绳子长度：

L1＝h6﹣h5＝10cm﹣4cm＝6cm，也就是图中5与9之间的高度；

圆柱体A、B之间的绳子长度：L2＝h4﹣h浸2﹣h7＝40cm﹣20cm﹣3cm＝17cm。