Question

5．如图所示，底面积为300cm²的圆柱形水槽内盛有适量的水，把质量为1kg、高为12cm、横截面积为100cm²的柱形物块，用弹簧测力计悬挂后让其浸入水中的深度为2cm，弹簧测力计的测量范围为0～10N，在刻度尺上从0从10N之间的长度为8cm，取g=10N/kg，试求：
（1）此时弹簧测力计的示数；
（2）向水槽内至少注入多少千克水，弹簧测力计示数恰好为零？（柱形水槽容积足够大，以确保水不溢出）

Answer 1

分析 （1）计算出物体浸在水中的体积，根据F_浮=ρ_液gV_排计算出物体所受的浮力；由F=G-F计算出弹簧秤的示数；
（2）当弹簧秤的示数为零时，物体所受的浮力与重力恰好相等，从而可计算出此时物体浸在水中的体积及深度，从而可计算出应添加水的体积，添加水的深度应等于此时物块在水中的深度-原来在水中的深度+物块向上移动的距离，再由ρ=$\frac{m}{V}$计算加入水的质量．

解答 解：
（1）物体的重力：G=mg=1kg×10N/kg=10N；
物体在水中受到的浮力：F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×100×2×10^-6m³=2N；
物体受到的拉力、浮力与物体的重力平衡，
所以弹簧秤的示数（即拉力）：F=G-F_浮=10N-2N=8N；
（2）当物体所受的浮力与重力相等时，弹簧秤的示数为零，即此时：F_浮′=G=10N；
由阿基米德原理可得：
V_排′=$\frac{{F}_{浮}′}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{10N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=10^-3m³；
则物体的下底面与水面的距离为：
h=$\frac{{V}_{排}′}{{S}_{物}}$=$\frac{1{0}^{-3}{m}^{3}}{100×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.1m；
所以物体在水中的深度增加了△h=0.1m-0.02m=0.08m；
在刻度尺上从0从10N之间的长度为8cm，所以弹簧缩短1cm受到的力：$\frac{10N}{8cm}$=$\frac{5}{4}N/cm$，
原来测力计的示数为8N，现在为0N，测力计示数减小了8N，
所以物体上升的高度（弹簧缩短的长度）：h′=$\frac{8N}{\frac{5}{4}N/cm}$=6.4cm=0.064m，
所以水面上升的高度为：h_水=0.08m+0.064m=0.144m，
所以，加入水的体积：
V_水=S_容h_水-S_物×△h=300×10^-4m²×0.144m-100×10^-4m²×0.08m=3.52×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，加入水的质量：
m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×3.52×10^-3m³=3.52kg．
答：（1）此时弹簧秤的示数为8N；
（2）向水槽内至少注入3.52kg的水弹簧测力计示数恰好为零．

点评 此题考查了阿基米德原理公式的灵活运用，这是解决此类问题的基础，此题的难点在于，当向容器中加水的同时，弹簧秤的示数减小，物体也会上升，所以增加的深度加物体上升的高度，才是加入水的实际深度．