有一直壁圆筒.其底面直径为D.另有一密度为0.6×103kg/m3的圆柱形木块.其高度为h0.底面直径为d.将木块放入直壁圆筒中(如图甲所示.下方系有细绳且压在木块下).向其内部倒水(ρ水.g为已知量)．(1)当木块对圆筒底部的压力恰好为0时.注入水的质量m1是多少?(2)当注入质量为m2的水时.水面恰好与木块上方相平.请在图乙中画出木块的受� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．

有一直壁圆筒，其底面直径为D，另有一密度为0.6×10³kg/m³的圆柱形木块，其高度为h₀，底面直径为d，将木块放入直壁圆筒中（如图甲所示，下方系有细绳且
压在木块下），向其内部倒水（ρ_水，g为已知量）．
（1）当木块对圆筒底部的压力恰好为0时，注入水的质量m₁是多少？
（2）当注入质量为m₂的水时，水面恰好与木块上方相平（如图乙所示），请在图乙中画出木块的受力示意图．
（3）求图乙中水对底面的压强．

分析（1）根据S=πr²求出木块和圆筒的底面积，当木块对圆筒底部的压力恰好为0时，木块漂浮，受到的浮力和自身的重力相等，根据阿基米德原理和G=mg=ρVg=ρShg求出容器内水的深度，根据V_水=（S_筒-S_木）h_水求出容器内注入水的体积，根据m=ρV求出注入水的质量；
（2）当注入质量为m₂的水时，水面恰好与木块上方相平，木块受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力、绳子的拉力，据此作出木块的受力示意图；
（3）根据V=$\frac{m}{ρ}$求出容器内水的体积，水的体积加上木块的体积然后与容器的底面积之比即为水的深度，根据p=ρgh求出水对底面的压强．

解答解：（1）木块的横截面积S_木=πr_木²=π（$\frac{d}{2}$）²=$\frac{π{d}^{2}}{4}$，圆筒的底面积S_筒=πr_筒²=π（$\frac{D}{2}$）²=$\frac{π{D}^{2}}{4}$．
当木块对圆筒底部的压力恰好为0时，设水的深度为h_水，
因木块漂浮，受到的浮力和自身的重力相等，
所以，由F_浮=ρgV_排=ρgS_木h_水和G=mg=ρVg=ρShg可得：
ρ_水gS_木h_水=ρ_木S_木h₀g，
解得：h_水=$\frac{{ρ}_{木}}{{ρ}_{水}}$h₀，
容器中注入水的体积：
V_水=（S_筒-S_木）h_水=（$\frac{π{D}^{2}}{4}$-$\frac{π{d}^{2}}{4}$）×$\frac{{ρ}_{木}}{{ρ}_{水}}$h₀，
注入水的质量：
m₁=ρ_水V_水=ρ_水×（$\frac{π{D}^{2}}{4}$-$\frac{π{d}^{2}}{4}$）×$\frac{{ρ}_{木}}{{ρ}_{水}}$h₀=ρ_木h₀×$\frac{π（{D}^{2}-{d}^{2}）}{4}$=0.6×10³kg/m³×h₀×$\frac{π（{D}^{2}-{d}^{2}）}{4}$=150π（D²-d²）h₀；
（2）当注入质量为m₂的水时，水面恰好与木块上方相平，木块受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力、绳子的拉力，
则木块的受力示意图，如下图所示：

（3）容器内水的体积：
V_水′=$\frac{{m}_{2}}{{ρ}_{水}}$，
容器内水的深度：
h_水′=$\frac{{V}_{水}′+{V}_{木}}{{S}_{筒}}$=$\frac{{V}_{水}′+{S}_{木}{h}_{0}}{{S}_{筒}}$=$\frac{\frac{{m}_{2}}{{ρ}_{水}}+\frac{π{d}^{2}}{4}{h}_{0}}{\frac{π{D}^{2}}{4}}$=$\frac{4{m}_{2}+π{d}^{2}{h}_{0}{ρ}_{水}}{{ρ}_{水}π{D}^{2}}$，
水对底面的压强：
p=ρ_水gh_水′=ρ_水g$\frac{4{m}_{2}+π{d}^{2}{h}_{0}{ρ}_{水}}{{ρ}_{水}π{D}^{2}}$=$\frac{（4{m}_{2}+1000π{d}^{2}{h}_{0}）g}{π{D}^{2}}$．
答：（1）当木块对圆筒底部的压力恰好为0时，注入水的质量是150π（D²-d²）h₀；
（2）木块的受力示意图如上图所示；
（3）图乙中水对底面的压强为$\frac{（4{m}_{2}+1000π{d}^{2}{h}_{0}）g}{π{D}^{2}}$．

点评本题考查了物体浮沉条件和密度公式、重力公式、液体压强公式的综合应用，要注意木块对圆筒底部的压力恰好为0时木块没有离开容器底部，正确的求出水面恰好与木块上方相平时水的深度是关键．

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